为什么度规张量的梯度为零？这一点为什么被称为协变导数与度规的适配条件？10月26日12时，《张朝阳的物理课》第二百六十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了对偶基矢、协变逆变等张量分析的基础知识，然后用张量的基矢表达式说明了对张量求梯度时需要引入协变导数，最后重点讲解了度规张量的梯度为零。这个性质十分重要，它被称为协变导数与度规相适配。

回顾张量分析基础

在之前的物理课上，张朝阳讲解过张量的梯度算子描述了张量随坐标点变化而对应的变化率，这一变化有两个来源，一个是张量系数贡献的变化，另一个是张量的基矢贡献的变化，例如，对于一阶张量，在移动一个坐标微元dx^γ后，它的变化量为

它也是一个一阶张量，如果用下基矢展开它，可以写成

其逆变分量就是它与上基矢的内积

利用上下基矢的对偶关系，可得

由基矢所贡献的变化就可以用克氏符来描述

上面的变化量需要对γ指标求和。取其中的某个γ的分量，并将坐标微元dx^γ除掉，就可以定义张量沿该γ坐标分量的协变导数

它还携带着原来的逆变指标β，是一个（1,1）型二阶张量。

关于克氏符，有三点需要做补充说明：

一、对基矢求普通偏导这一操作，需要在平直时空中进行。如果研究的是弯曲时空，可以把它嵌入到高维平直时空中进行这一操作。

二、在本课程体系中，基矢被选取为坐标基矢，也就是它是由位矢对坐标求偏导得到的一组矢量

这样的约定下，克氏符下方的两个指标是对称的

在几何意义上，克氏符的下指标对称意味着空间是无挠的。

三、利用上下基矢的对偶性，可以得到克氏符的另一个基矢表达式

度规的协变导数为零

接下来张朝阳开始计算度规张量的协变导数。度规张量是个二阶张量，它按下基矢的展开式为

其逆变分量是上基矢的内积

二阶张量的协变导数也有来自克氏符的贡献项，

相比于一阶张量，克氏符对协变导数的贡献有两项，分别是等式右侧的第二项和第三项。等式右侧的第一项是对度规张量的逆变分量求普通偏导，它可以用莱布尼兹法则进一步计算

其中第三行用度规张量将上基矢变换成了下基矢，第四行代入了克氏符的基矢表达式。将这一计算结果代回对度规张量求协变导数的式子，可以发现它刚好和第二、三项抵消。同样的计算也适用于度规张量的协变分量。至此，证明了度规的协变导数等于零。

从保内积的几何意义再看克氏符

作为本节课的补充，不妨对照一下传统学习路径中是如何引入“度规的协变导数为零”这件事的。想象空间中的P点有两个矢量A和B，它们的内积可以按下式计算

现在对矢量A和B沿着dx^γ做一微小的平移操作，平移操作可以保证矢量A和B的逆变分量的协变微元为零

另一方面，人们自然地希望平移后矢量A和B的内积保持不变

根据协变导数的莱布尼兹法则，这就要求了度规张量的协变导数为零，或者等价地说，度规张量的梯度为零

以上是从平移保内积的角度解释了度规张量梯度为零的几何含义。轮换γαβ指标可得

将上面的(1)+(2)-(3)，并假设克氏符是无挠的，就可以发现划线的几项会相互抵消，由此可以得到克氏符的度规表达式

注意，这个表达式并不需要从克氏符的基矢表达式出发来得到，它仅仅是从无挠条件和保内积条件得到的，是一套与本课程体系完全不同的推导路径。在实际计算中，度规的表达式是容易得到的，进而对度规求坐标偏导也是容易计算的，所以大部分时候人们都是用这一表达式来计算克氏符。

本课程体系则是从克氏符的基矢表达式出发，证明了由此定义的协变导数能保证度规张量梯度为零。克氏符的基矢表达式涉及到基矢对坐标求偏导，这在复杂的弯曲时空中是很难直接计算的，不过它的几何含义比较明确，更适合初学者在学习初期建立一个形象的感知。在第二百四十一期物理课中，张朝阳也推导了克氏符的度规表达式和基矢表达式是等价的，感兴趣的网友可以自行回顾。

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