题目描述

“吃货”和“馋嘴”两人到披萨店点了一份铁盘(圆形)披萨，并嘱咐店员将披萨按放射状切成大小相同的偶数个小块。

但是粗心服务员将披萨切成了每块大小都完全不同奇数块，且肉眼能分辨出大小。

由于两人都想吃到最多的披萨，他们商量了一个他们认为公平的分法:从“吃货”开始，轮流取披萨。

除了第-块披萨可以任意选取以外，其他都必须从缺口开始选。 他俩选披萨的思路不同。

“馋嘴”每次都会选最大块的拨萨，而且“吃货”知道“馋嘴”的想法。

已知披萨小块的数量以及每块的大小，求“吃货”能分得的最大的披萨大小的总和。

输入描述

第1行为一个正整数奇数 N ，表示披萨小块数量。其中 3 ≤ N< 500

接下来的第 2 行到第 N+1 （共 N 行），每行为一个正整数，表示第i块披萨的大小， 1≤i≤N 。

披萨小块从某一块开始，按照一个方向次序顺序编号为 1 ~ N ,每块披萨的大小范围为[1,2147483647]。

输出描述

”吃货“能分得到的最大的披萨大小的总和。

示例1

输入： 5 8 2 10 5 7  输出： 19  说明： 此例子中，有 5 块披萨。每块大小依次为 8 、2 、10 、5 、7。 按照如下顺序拿披萨，可以使”吃货拿到最多披萨: “吃货”拿大小为 10 的披萨 “馋嘴”拿大小为5的披萨 “吃货”拿大小为7 的披萨 “馋嘴”拿大小为 8 的披萨 ”吃货“拿大小为2 的披萨 至此，披萨瓜分完毕，”吃货“拿到的披萨总大小为 10+7+2=19 可能存在多种拿法，以上只是其中一种。 

解题思路

解题思路

1. 记忆化搜索：定义一个递归函数 f(l, r, t) 来表示从区间 [l, r] 里，“吃货”能分得的最大披萨大小的总和。这里 l 和 r 分别表示区间的左边界和右边界，t 表示剩余的次数。
2. 贪心选择：每次“馋嘴”都会选择当前区间内最大的披萨块，这会影响到下一步“吃货”的选择。因此，我们需要在“吃货”选择之前模拟“馋嘴”的贪心选择，以确保“吃货”能得到最大总和。
3. 递归处理：递归地缩小问题规模，通过模拟“吃货”在每一步的选择，并记录下最优结果。

代码描述

1. 输入处理：读取输入的披萨块数量 n 和每块披萨的大小。
2. 缓存优化：使用 functools.cache 来缓存递归结果，避免重复计算。
3. 递归函数 f：
   • 参数：l 为左边界，r 为右边界，t 为剩余次数。
   • 基本情况：如果剩余次数 t 小于等于1，则返回0。
   • 贪心选择：模拟“馋嘴”选择当前区间内的最大披萨块，更新 l 或 r。
   • 动态规划选择：计算“吃货”选择左边界 l 或右边界 r 时的最大总和，并返回其中较大的值。
4. 主逻辑：通过遍历每块披萨，计算“吃货”从该块披萨开始能得到的最大总和。

Python

from functools import cache  n = int(input()) pizza = list(int(input()) for _ in range(n))   @cache def f(l: int, r: int, t: int) -> int:     """     :param l: 左边界     :param r: 右边界     :param t: 剩余次数     :return: 返回 “吃货” 最优选择时可以分到的披萨总和     """     global n, pizza     if t <= 1:         return 0      l, r = (l + n) % n, r % n      # “馋嘴”选择最大的一块     if pizza[l] >= pizza[r]:         l = (l - 1 + n) % n     else:         r = (r + 1) % n 	     # “吃货”选择 pizza[l]     s1 = pizza[l] + f(l - 1, r, t - 2)     # “吃货”选择 pizza[r]     s2 = pizza[r] + f(l, r + 1, t - 2)     return max(s1, s2)   print(max(pizza[i] + f(i - 1, i + 1, n - 1) for i in range(n)))  

@cache 的作用和使用

作用

• 性能优化：通过缓存函数的返回值，避免对相同输入的函数进行多次计算。
• 简洁代码：使用装饰器的方式可以使代码更加简洁和易读。

使用方法

• 在函数定义的上方添加 @cache 装饰器即可。

示例方法

from functools import cache  @cache def fibonacci(n):     if n < 2:         return n     return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)  print(fibonacci(50))  

在上述例子中，fibonacci 函数使用了 @cache 装饰器。当计算 fibonacci(50) 时，fibonacci 函数会缓存所有中间结果，避免了大量重复计算，使得计算速度显著提升。

@cache 与 @lru_cache 的区别

• @cache：

  • 缓存所有的函数调用结果，直到程序结束或缓存被手动清除。
  • 不限制缓存大小，可能会导致内存占用较大。

• @lru_cache：

  • Least Recently Used (LRU) 缓存，会限制缓存大小，默认最大缓存大小为 128，可以通过参数调整。
  • 当缓存满了，会自动清除最久未使用的缓存项，以保持缓存大小在设定范围内。

• 示例代码

  from functools import lru_cache      @lru_cache(maxsize=128)   def fibonacci(n):       if n < 2:           return n       return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)      print(fibonacci(50))    

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