ode45 是 MATLAB 中用于求解非刚性常微分方程(ODE)的数值方法。它基于 Runge-Kutta 方法,并具有自适应步长调整机制,能够在一定误差控制范围内高效地计算 ODE 的数值解。
下面我们通过这个包含详细注释的代码,一起学习一下这个函数的使用:
ode45
求解非线性常微分方程并绘制数值解与精确解对比图我们考虑以下非线性常微分方程:
y ′ ′ = − y ′ + cos ( t ) − 3 sin ( t ) y'' = -y' + \cos(t) - 3 \sin(t) y′′=−y′+cos(t)−3sin(t)
选择初始条件:
y ( 0.1 ) = cos ( 0.1 ) + 2 sin ( 0.1 ) y(0.1) = \cos(0.1) + 2 \sin(0.1) y(0.1)=cos(0.1)+2sin(0.1)
y ′ ( 0.1 ) = − sin ( 0.1 ) + 2 cos ( 0.1 ) y'(0.1) = -\sin(0.1) + 2 \cos(0.1) y′(0.1)=−sin(0.1)+2cos(0.1)
ode45
求解 ODE以下是使用 ode45
求解该方程的 MATLAB 代码,并绘制数值解与精确解的对比图:
% 定义非线性ODE,以下是不同的ODE定义 % ode = @(t, y) [y(2); (f + y(2).^2 / 2 - 2 * mu .* y(2) ./ (rho .* y(1)) + sig ./ (rho * y(1)) - aB .* y(2).^2 ) ./ (aB * y(1))]; % ode = @(t, y) [y(2); (f + y(2).^2 / 2 - aB .* y(2).^2)]; % 当前使用的ODE定义 ode = @(t, y) [y(2); (-y(2) + cos(t) - 3 * sin(t))]; % 设定初始条件 x0 = 0.1; % 初始时间 drealu = @(t) -sin(t) + 2 * cos(t); % 实际解的导数 realu = @(t) cos(t) + 2 * sin(t); % 实际解 initial_conditions = [realu(x0); drealu(x0)]; % 初始条件向量 % 定义求解区间 tspan = [x0 10]; % 从初始时间到10的时间区间 % 使用ode45求解ODE [t, y] = ode45(ode, tspan, initial_conditions); % 绘制数值解 figure; plot(t, y(:, 1), 'o-'); title('numerical solution'); xlabel('time (t)'); ylabel('solution (y(t))'); grid on; % 绘制实际解 figure; plot(t, realu(t), 'o-'); title('real solution'); xlabel('time (t)'); ylabel('solution (y(t))'); grid on;
我们画出数值解与精确解对比图:
效果不错!
ode45
求解常微分方程并绘制数值解与精确解对比图我们考虑以下二阶常微分方程:
y ′ ′ + y = 0 y'' + y = 0 y′′+y=0
这个方程的精确解为:
y ( t ) = A cos ( t ) + B sin ( t ) y(t) = A \cos(t) + B \sin(t) y(t)=Acos(t)+Bsin(t)
选择初始条件:
y ( 0 ) = 1 y(0) = 1 y(0)=1
y ′ ( 0 ) = 0 y'(0) = 0 y′(0)=0
根据初始条件,精确解可以写为:
y ( t ) = cos ( t ) y(t) = \cos(t) y(t)=cos(t)
ode45
求解 ODE以下是使用 ode45
求解该方程的 MATLAB 代码,并绘制数值解与精确解的对比图:
% 定义ODE ode = @(t, y) [y(2); -y(1)]; % 初始条件 y0 = [1; 0]; % y(0) = 1, y'(0) = 0 % 定义求解区间 tspan = [0 10]; % 使用ode45求解ODE [t, y] = ode45(ode, tspan, y0); % 定义精确解 exact_solution = @(t) cos(t); % 绘制数值解与精确解对比图 figure; plot(t, y(:, 1), 'o-', 'DisplayName', 'Numerical Solution'); % 数值解 hold on; fplot(exact_solution, [0 10], 'r-', 'DisplayName', 'Exact Solution'); % 精确解 title('Comparison of Numerical Solution and Exact Solution'); xlabel('time (t)'); ylabel('solution (y(t))'); legend; grid on; hold off;
画出数值解与精确解对比图:
Good!