文章目录

• 前言
• 一、列空间及其零空间
• 二、行空间及其零空间
• 三、行空间与列空间的关系
• • 3.1 引理1）证明
  • 3.2 引理2）证明
  • 3.3 引理3）证明
  • 3.4 行秩等于列秩证明
• 总结

前言

前面我们已经学习了矩阵的两个相关子空间：列空间与零空间；本文将继续介绍剩余两个基本子空间：行空间以及行空间对应的零空间。同样的，我们也将分析这些子空间之间的联系。

一、列空间及其零空间

关于矩阵 A 的 \bm{A}的 A的列空间及其零空间，我们先前已经学习的差不多了，所谓列空间就是矩阵的列向量张成的向量空间记为 C ( A ) C(\bm{A}) C(A)（Column）；所谓零空间就是方程组 A x = 0 \bm{Ax}=\bm{0} Ax=0的解空间，记为 N ( A ) N(\bm{A}) N(A)。

此外，我们还有一条性质，即列空间维数+零空间维数=矩阵列数。这里，我想补充一个知识点：零向量是与任意向量线性相关的向量，包括自身。因此，一个仅包含零向量的空间的维度视为0。此外，我们还引入了一种定义，即将矩阵的列空间维数称为列秩。

二、行空间及其零空间

类似于列向量的定义，矩阵 A \bm{A} A的行向量也可以张成一个行空间，通过引入矩阵转置，我们可以将行空间记作 C ( A T ) C(\bm{A}^T) C(AT)。同样，可以得到行空间所对应的零空间，即 N ( A T ) N(\bm{A}^T) N(AT)，其为方程组 A T x = 0 \bm{A}^T\bm{x}=\bm{0} ATx=0，即 x A = 0 \bm{x}\bm{A}=\bm{0} xA=0的解空间。

可见，行空间与列空间的性质存在某种对称性，只要把原矩阵进行转置，就能推导出原本列空间的性质了（因为当初证明列空间性质时，并没有限制矩阵形状，因此无论行列数目的关系如何，结论均成立）。因此，我们由转置矩阵 A T \bm{A}^T AT的列秩+零空间 N ( A T ) N(\bm{A}^T) N(AT)维度=列数，就能得到矩阵 A \bm{A} A的结论：行秩+零空间 N ( A T ) N(\bm{A}^T) N(AT)=行数。

三、行空间与列空间的关系

既然行空间与列空间的性质如此对称，那么他们之间会有什么特殊关系吗？

答案当然是有的，那就是矩阵的列秩=行秩，统称为矩阵的秩，记作 r ( A ) r(\bm{A}) r(A)（Rank）。也许有人会疑问，矩阵的行列数都可以不一样，他们的秩却始终一样。那么下面，我们就来证明一下这条性质。首先，我们引入几条引理：1）任意左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的行秩或列秩；2)行最简矩阵的行秩等于列秩；3)对行最简矩阵做初等行变换不改变列秩.

3.1 引理1）证明

首先，证明引理1）：

我们知道，矩阵 A B \bm{AB} AB的列向量均为矩阵 A \bm{A} A的列向量的线性组合。
∴ \therefore ∴我们有 r ( C ( A B ) ) ⩽ r ( C ( A ) ) r(C\bm{(AB)})\leqslant r(C(\bm{A})) r(C(AB))⩽r(C(A))，从而有 r ( C ( A E ) ) ⩽ r ( C ( A ) ) r(C\bm{(AE)})\leqslant r(C(\bm{A})) r(C(AE))⩽r(C(A))
我们再右乘可逆矩阵 B \bm{B} B的逆矩阵 B − 1 \bm{B}^{-1} B−1
得 r ( C ( A B B − 1 ) ) = r ( C ( A ) ) ⩽ r ( C ( A B ) ) ⩽ r ( C ( A ) ) r(C\bm{(ABB^{-1})})= r(C(\bm{A}))\leqslant r(C(\bm{AB}))\leqslant r(C(\bm{A})) r(C(ABB−1))=r(C(A))⩽r(C(AB))⩽r(C(A))
∴ r ( C ( A B ) ) = r ( C ( A ) ) \therefore r(C(\bm{AB}))=r(C(\bm{A})) ∴r(C(AB))=r(C(A))
同理，左乘可逆矩阵也不改变矩阵的行秩。

3.2 引理2）证明

下面，我们开始证明引理2）：

我们知道，通过初等行变换，我们可以将矩阵 A \bm{A} A变换为行最简矩阵,记为 E A = U \bm{EA}=\bm{U} EA=U。
行最简矩阵 U U U具有如下性质：
1）每行第一个非零元素为1，称为主元
2）主元所在列其余元素均为0
3）零行均在矩阵下方

先证行最简矩阵的列秩等于主元数:

∵ \because ∵ 主元所在列其余元皆为0.
∴ \therefore ∴ 主元所在列构成一组线性无关组（均为单位基向量e.g., [ 0 , 1 , 0 … ] [0,1,0\ldots] [0,1,0…]）.
又 ∵ \because ∵ 每行第一个非零元素为主元.
∴ \therefore ∴ 对 ∀ \forall ∀ 非主元所在列，其非零元素所在行的左侧必然存在主元.
∴ \therefore ∴ 矩阵 U \bm{U} U的任意列向量均可以主元所在列线性表示.
∴ \therefore ∴ 主元所在列构成矩阵 U \bm{U} U列空间的一组极大线性无关组.
∴ \therefore ∴行最简矩阵的列秩等于主元所在列数等于主元数.

再证行最简矩阵的行秩等于主元数:

同样 ∵ \because ∵ 主元所在列其余元皆为0.
∴ \therefore ∴ 主元所在行也构成一组线性无关组.
又 ∵ \because ∵ 每行第一个非零元素为1
∴ \therefore ∴ 非主元所在行必然没有非零元素，即均为零行。
∴ \therefore ∴ 主元所在行构成矩阵 U \bm{U} U行空间的一组极大线性无关组.
∴ \therefore ∴矩阵的行秩等于主元所在行数等于主元数.
∴ \therefore ∴行最简矩阵的列秩等于行秩等于主元数.

3.3 引理3）证明

分别考虑三种初等行变换：

1）换行
∵ \because ∵ 换行不改变主元所在列其余元素均为0的性质
∴ \therefore ∴ 主元所在列仍为一组标准基向量，且所有非主元所在列仍然被主元所在列线性表示.
∴ \therefore ∴ 换行不改变矩阵 U \bm{U} U的列秩
2）非零数乘
非零数乘仍然不改变主元所在列其余元素均为0的性质

∴ \therefore ∴ 非零数乘不改变矩阵 U \bm{U} U的列秩
3）乘系数相加
∵ \because ∵ 主元所在列其余元素均为零
∴ \therefore ∴ 乘系数相加不会将主元变为零，只会增加非主元元素
又 ∵ \because ∵ 增加非主元元素所再行的主元列向量仍为标准基向量
∴ \therefore ∴ 增加的非主元元素均可用所在行的主元列向量通过初等列变换进行消去.
∵ \because ∵ 由引理1)初等列变换不改变矩阵的列秩.
∴ \therefore ∴ 乘系数相加不改变矩阵 U \bm{U} U的列秩
∴ \therefore ∴对行最简矩阵进行初等行变换不改变矩阵的列秩

3.4 行秩等于列秩证明

对于任意矩阵 A \bm{A} A,我们可以对其做初等行变换，得到行最简矩阵，简记为 E r A = U \bm{E_rA}=\bm{U} Er​A=U
由引理1），有 r r o w ( A ) = r r o w ( U ) r_{row}(\bm{A})=r_{row}(\bm{U}) rrow​(A)=rrow​(U)
变换上式，有 A = E − r U \bm{A}=\bm{E^{-r}U} A=E−rU
由引理3) 有 r c o l u m n ( E − r U ) = r c o l u m n ( U ) r_{column}(\bm{E^{-r}U})=r_{column}(\bm{U}) rcolumn​(E−rU)=rcolumn​(U)
∴ r c o l u m n ( A ) = r c o l u m n ( U ) \therefore r_{column}(\bm{A})=r_{column}(\bm{U}) ∴rcolumn​(A)=rcolumn​(U)
最后，由引理2)，有 r r o w ( A ) = r r o w ( U ) = r c o l u m n ( U ) = r c o l u m n ( A ) r_{row}(\bm{A})=r_{row}(\bm{U})=r_{column}(\bm{U})= r_{column}(\bm{A}) rrow​(A)=rrow​(U)=rcolumn​(U)=rcolumn​(A)
证毕

总结

本文介绍了矩阵的四种基本子空间，并分析了行列空间的重要性质：行秩等于列秩。从而，我们可以根据矩阵的特征，灵活地选择使用行向量或列向量来进行矩阵的分析。