高中数学定积分
创始人
2025-07-09 11:41:33
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高中数学定积分【要有详细过程】(>^ω^<)喵O(∩_∩)O谢谢各位的回答，O(∩_∩)O谢谢
画个半圆，求半圆的面积。几何意义来做就行了（刚才有网友更正，还要截取一部分）
∫(-2,2) √(8-y^2) dy
换元，y=2√2sint，t∈[-π/4,π/4]
=∫(-π/4,π/4) 8*cost*√(1-sin^2t) dt
=8*∫(-π/4,π/4) cos^2t dt
=4*∫(-π/4,π/4) 2cos^2t-1+1 dt
=4*∫(-π/4,π/4) cos(2t)+1 dt
=4*∫(-π/4,π/4) cos(2t) + 4*∫(-π/4,π/4) 1 dt
=2sin(2t) |(-π/4,π/4) +4t |(-π/4,π/4)
=4+2π
对于高中生来说，上面的做法还是太难了
更简单的做法应该是：数形结合
对于函数：t=√(8-y^2)
作变换：t^2+y^2=(√8)^2，为圆方程，再看限制：t≥0，-2≤y≤2，即为上1/4圆弧与x轴所围的图形
那么，积分就变为求改图的面积：
S=(1/4)*(√8)^2*π+2*(1/2)*2*2=2π+4
即，
∫(-2,2) √(8-y^2) dy=2π+4
有不懂欢迎追问
三角换元。
令y=2√2*sinx
f（-π/4,π/4） 2√2cos x dx
原函数2√2 sinx-c
代入
结果为4
画个半圆，求半圆的面积。几何意义来做就行了（刚才有网友更正，还要截取一部分）
∫(-2,2) √(8-y^2) dy
换元，y=2√2sint，t∈[-π/4,π/4]
=∫(-π/4,π/4) 8*cost*√(1-sin^2t) dt
=8*∫(-π/4,π/4) cos^2t dt
=4*∫(-π/4,π/4) 2cos^2t-1+1 dt
=4*∫(-π/4,π/4) cos(2t)+1 dt
=4*∫(-π/4,π/4) cos(2t) + 4*∫(-π/4,π/4) 1 dt
=2sin(2t) |(-π/4,π/4) +4t |(-π/4,π/4)
=4+2π
对于高中生来说，上面的做法还是太难了
更简单的做法应该是：数形结合
对于函数：t=√(8-y^2)
作变换：t^2+y^2=(√8)^2，为圆方程，再看限制：t≥0，-2≤y≤2，即为上1/4圆弧与x轴所围的图形
那么，积分就变为求改图的面积：
S=(1/4)*(√8)^2*π+2*(1/2)*2*2=2π+4
即，
∫(-2,2) √(8-y^2) dy=2π+4
有不懂欢迎追问
偶函数在对称区间上的积分=其在一半对称区间上的积分的2倍
三角换元。
令y=2√2*sinx
f（-π/4,π/4） 2√2cos x dx
原函数2√2 sinx-c
代入
结果为4
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