为何说量子力学成就世间万物？ 《张朝阳的物理课》介绍量子力学起源
从元素说到原子论，从炼丹术到化学，人类对物质世界的思考与探索从未停止。门捷列夫在1860年发现了元素周期律成为了物质科学的基础，使得对物质结构的探索从哲学走向科学。未曾设想，仅半个世纪后，一场“量子革命”奇迹般地给出了周期律更底层更一般的规律。
量子力学和经典力学有何区别？2月 9日除夕当天，搜狐视频“科学演讲局”开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳带来了一场关于“量子力学”的硬核演讲，重温《张朝阳的物理课》2023年的“烧脑记忆”。
从连续到分立 从粒子到波动
20世纪后物理学有两大支柱，一个是广义相对论，带来了崭新时空观；一个是量子力学，更新了物质结构认知。前者让人类逐渐理解和走向星辰大海，认识天体和宇宙。而量子力学则揭示了地球上多彩世界的底层逻辑。
张朝阳从词源出发解释了“量子（quantum）”概念，本义是一份一份的、分立的可计数的对象。这在当时是一件非常难以理解的事情，因为在牛顿力学主导的物理学框架中，万物总是连续变化的。
“分立”和“连续”是什么意思？小学课堂上掰指头数数，1个、2个、3个，这些结果是分立的；到中学，课本会解释，实数1和2之间有无穷多的数。甚至于，任意给定一个小量 ε，在 1 + ε 之间也会有无穷多的小量，这就是连续之一概念的直观理解。
举个例子，经典力学中任何一个星体的运动都可以用位置矢量、以及位置随时间的变化来描述。在某一时刻给定初始条件，其后任意时刻星体的运动状态就完全确定了：它会沿着固定的轨道一直行进，受到的微扰后，星体将沿着发生微小变化的新轨道继续行进。
近期借着给“天宫号”运送“新年快递”的时机，张朝阳仔细研究了天体——人造的或者是自然的——在更大质量天体的引力场中的运动轨道。一般来说，它是一个椭圆，在极坐标下轨道方程可以写为
其中，参数
即 α 为绕转天体单位质量的角动量。而参数
其中 E 是守恒的机械能，v1 是天体在近地点的速度。
如果 A = 0，天体所在的位置半径与角度再无关系，即退化成沿一个圆轨道行进。此时由 A 的表达式可知以圆轨道绕转的天体具有机械能
如果某时刻 E 受微扰或者人为地稍微改变了一点，变为 E + ΔE，天体立刻将偏离圆轨道，转而走出一个椭圆轨迹。张朝阳强调，这里参数比如能量是连续变化的，轨道也是连续变形的。因此，空间站及宇航员们不会从一个轨道瞬间跃迁到一个更远的地方。如果因为太阳风等因素稍稍偏离预定轨道，只要通过喷气做些许补偿就能保证“天宫号”的工作状态。
当物理学翻过19世纪，人们惊奇地发现，总有许多物理现象与牛顿力学中“连续变化”是矛盾的。其中最著名的就是氢原子的光谱。19世纪初，卢瑟福用著名的散射实验，否定了汤姆森的原子“枣糕模型”，认为原子是由原子核及绕它旋转的若干个电子组成。这一模型非常类似于前面分析的天体绕转，只是将引力代替以电磁力。
但一个尖锐的矛盾是，根据电动力学，绕转的带电粒子会以波包的形式向外辐射电磁波，形成连续的频谱。然而，事实上，实验学家观测结果是一簇簇分立的谱线。
（张朝阳描述氢原子光谱的分立谱线）
另一个令学者们百思不得其解的是双原子分子的比热问题。双原子分子，比如氢分子和氧分子，一共有 7 个自由度：3 个质心平动的自由度、2 个转动自由度以及 1 个振动自由度和 1 个扭转自由度。按照经典物理中的能量均分定理，双原子分子气体组成的气体的比热
是一个常数。但如图，实验上测量中的比热随温度呈阶梯变化，在温度很低时，测量发现比热只有 3R/2，知道将温度升高到一定阈值后，才能回到经典物理预言的数值。
（张朝阳描述双原子分子气体的比热阶梯）
还有一个被比喻为“乌云”的困难即是黑体辐射问题。普朗克率先给出了满足实验观测黑体辐射定律，但他本人也不能很好地解释这一结果，只能大致地描述为：只有认为黑体只能一团一团地吸收或放出大小严格为 hω的能量，才能得到符合观测的计算结果
这些结果强烈暗示着，分立性是自然的一个本质特征，促使物理学家开始正视和思考不连续性这一问题，以及试图描述这种现象。
那么，究竟什么样的系统才会导致分立的结果呢？学者们首先在经典物理中，找到了琴弦振动这一模型。为了描述弦的震动，可以记某一时刻 t 下，弦长 x 处的振幅为 u(x, t)，根据一定的力学分析，可只它要满足波动方程
方程的一组特解是
如果这根弦的两端固定在 x = 0 及 x = a 处，那么必然有 A = 0 且
它意味着两端被力束缚住的弦，只能发出特定频率的声音，这也是弦乐器“调弦”的原理。从这一例子中可以看到，被边界条件约束的波动，会自然地要求物理量只能取离散的值，自然地出现了分立性。
而回顾19世纪，波动力学一个重要主题是研究光。自麦克斯韦之后，光被普遍地认为是一种电磁波，满足和弦震动类似的波动方程
只是此时传播速度应该修正为光速。该方程的一个特解为
称为单色平面波。但随着实验技术的进步，实验学家们又观测到了光电效应。在这一过程中，被光“打出来”的电流大小正比于光的频率，但存在一个阈值。当频率低于这个阈值时，仪器观察不到光电效应。爱因斯坦提出，如果将光也看作一份一份的能量团，那么光电效应阈值就可以解释为一个低频光子携带的能量不足以让电子挣脱原子核的束缚，光电效应自然就消失了。
这一结果强烈暗示着光作为波动，又有与实物粒子相似的性质。基于对光电效应的分析，爱因斯坦大胆假设，光即是波同时也是粒子，称为光的“波粒二象性”。波动性其时已深入人心，而康普顿很快用另一个实验再次佐证了它的粒子性。康普顿发现，用 X 光或者 γ 光打击电子，从不同角度散射出来的光子有不同的波长，与入射光对比，波长变化值为
借助把光看作粒子的思路，康普顿利用能动量守恒，计算到了完全一致的结果，说明了光不仅带有能量更带有动量——这不正是经验上一个粒子应当具备的物理性质吗？
有了上面的两条线索——波动带来分立性和光的波粒二象性——后，再回头思考氢原子的光谱问题。一个自然的想法是，电子有没有可能像光一样，有“波粒二象性”？如果电子具有波动的性质，是否就有可能由一定的边界条件自然地出现某种分立性？
将的“波粒二象性”扩展到实物粒子上这一思路，最早是由年轻的德布罗意提出，他大胆地将电子类比于光子，认为实物粒子的波长与动量相关，而频率与能量相关
这一观点促使戴维森去尝试用镍金属散射低能电子，最后得到了与光类似的干涉图像，证实了电子的波动性，也给德布罗意送去了诺贝尔物理学奖章。同时，人类敲开了量子世界的大门。
主导微观世界的基本规律
有了一个清晰的物理图像后，物理学界面临的问题是如何用一套合适、自洽的数学方法来描述这样一个既是波也是粒子，又允许物理量分立取值的物理体系。
在19世纪20年代初，德国物理学家海森堡提出了现在被称为“矩阵力学”的方案。这一方案专注于描述观测量之间的关系，可以十分有效的描述光谱形式。但该方案的数学形式对当时的物理学家来说太过复杂和陌生，甚至于海森堡自己都时有困惑。
而另一边，奥地利物理学家薛定谔几乎同时独立提出了“波动力学”，着眼于描述粒子的波动性。“波动力学”方案的核心是经典物理学家早已了熟于心的偏微分方程，很快得到学界普遍接受，一直沿用至今日。值得一提的是，无论历史上的两派如何争执，到现代两个方案已经被证明其实是等价的。
更值得一提的是，薛定谔的方程是以天才的直觉猜出来的。基于对光的研究，薛定谔发现利用关系 (2) 可以将描述光的单色平面波改写为
将它代入波动方程 (1) 可以得到
此即光作为无质量粒子需要满足的色散关系。值得注意的是，彼时爱因斯坦的狭义相对论已经被广泛接受了。对于一个一般的有质量粒子，狭义相对论要求它满足色散关系
薛定谔问：假设单色平面波仍然是电子的一个解，那么满足给定色散关系的波函数应该是长什么样的？
历史上，由这一色散关系，薛定谔最先得到了相对论性波动方程，但他认为其中有许多未解决的困难，选择按而不发，转而研究了非相对论的情况。在非相对论情况下，色散关系可以展开为
注意此时等号左边的能量应该理解为是减去质量部分之后得到的，并且这里讨论的都是自由粒子。对单色平面波解求一次空间导数可以得到 p，所以不妨记
即动量对于地是一个微分算子。类似地，还有
代入非相对论的色散关系，可以得到
其中 ψ 即是要求解的“波函数”。由于取了非相对论近似，不同于方程 (1)，等号左边是对时间的一次导，同时会保留下虚数单位 i ，使得所解得波函数事实上是个复函数，而不是经典中习以为常的、代表了某种真实振动的实函数。
那么复函数 ψ 到底实什么东西呢？它的解释是有奥本海默的老师波恩给出的。波恩认为，复函数本身没有对应的物理意义，真正有意义的是它的模方
它对应粒子在空间某点出现的概率密度。对于更一般的情况，假设粒子不是自由运动的，而是处在某个势场中，完整的薛定谔方程是
这是在一维空间上的情况。在实际的三维空间，则是
更进一步，如果结合矩阵力学的观点，认为体系的状态可能处于若干个分立可数的态（state）上，将其标记为 |ψ⟩。此时，薛定谔方程又被写为
其中 H 被称为哈密顿量算符。确切地说，这里的态只是一个抽象的概念，生活在希尔伯特空间中，而不是坐标空间中。只有让它向坐标的本征态上作投影，才能得到前述的波函数。这一形式的薛定谔方程被认为是量子力学的基本方程，就像牛顿三定律之于牛顿力学。它虽然是被猜出来的，但正确性已经被无数实验验证，更被刻在薛定谔的墓碑上以表彰他所作出的贡献。
掌握了微观世界的基本规律之后，就可以寻求方程的解了。求解含时薛定谔方程的关键步骤，是求解系统哈密顿量的本征态。得到了本征态后，在本征态前面乘上相应的时间因子再求和，就能得到最一般的含时薛定谔方程的解。在不同的势场下解薛定谔方程，可以预言氢原子和谐振子的能谱，给出了氢原子的光谱分立取值一个相对圆满的解释。
如果再利用奥本海默近似，认为分子中两个原子核不动，用微扰方法先求解出核间的电子云；进而再认为电子云像“粘合剂”一样，等效地给两个原子核施加了一个吸引势。与库伦排斥结合后，原子核间的总势场会出现一个凹点。
（张朝阳解释分子间的等效势场）
就像在天体力学中，被称为“宇宙停车场”的拉格朗日点的势能凹点允许飞行器长时间停在该点，原子核间势场的凹点也意味着核间距会稳定在这一个特定的长度上。这一计算从微观上解释了化学键形成的原理，而化学键是地球上各种物质结构形成的基础。基因、DNA、蛋白质，底层逻辑都是量子力学。有了量子力学，这个世界才是有色彩有结构有多样性。正如张朝阳所说，“没有量子力学的世界是一堆灰。”
据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。