数理逻辑（Mathematical logic）作为一个独立的子领域出现在 19 世纪中叶，它是两大传统的融合产物——哲学中侧重推理规则的形式逻辑传统，与数学中追求以公理为基础、严谨构建理论体系的公理化传统。

数理逻辑曾有过很多名字：逻辑演算、符号逻辑、逻辑代数，在部分历史或通俗语境中简称为“形式逻辑”。（注：通俗来讲，如今“形式逻辑”是涵盖范围更广的概念，数理逻辑是其现代核心分支。）简单说，它是 19 世纪，人们利用人工创制的符号和严格的演绎方法建立起来的一套逻辑理论体系。在此之前，逻辑学的研究主要集中在修辞逻辑、中世纪演算术（Calculationes）、三段论理论等领域，且长期依附于哲学研究。

20 世纪上半叶是这一领域的黄金发展阶段，涌现了大量根本性的成果，同时也伴随着关于数学基础的激烈大辩论。

早期历史

历史上，许多文化都发展出了逻辑理论，古中国、古印度、古希腊、古罗马以及中世纪伊斯兰世界都曾发展出各具特色的逻辑理论。

古希腊的逻辑方法，特别是《工具论》中的亚里士多德逻辑（或称词项逻辑），主导了西方科学和数学界的逻辑研究长达近两千年。斯多葛学派，特别是克律西波斯（Chrysippus），开始系统地发展命题逻辑。

到了 18 世纪的欧洲，莱布尼茨（Leibniz）和兰伯特（Lambert）等兼具哲学与数学背景的学者开始尝试用代数符号刻画逻辑推理规则，但他们的研究成果在当时并未受到广泛关注。

19 世纪

19 世纪中叶，乔治·布尔（George Boole）和同期的奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）展示了如何用数学方法系统地处理逻辑问题。他们的工作建立在乔治·皮科克（George Peacock）等代数学家的代数思想基础之上，首次实现了逻辑的系统性数学化，将传统的亚里士多德逻辑扩展为一个足以支撑数学基础研究的框架。1847 年，克罗地亚数学家瓦特罗斯拉夫·贝蒂奇（Vatroslav Bertić）也在布尔之外独立完成了逻辑代数化的重要工作。

后来，查尔斯·桑德斯·皮尔士（Charles Sanders Peirce）在布尔的基础上进一步发展出一套完整的包含关系（如 A 大于 B、A 在 B 和 C 之间）和量词（如“所有”“存在”）的逻辑系统。

真正的转折点发生在 1879 年，格特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）出版了被誉为“现代逻辑诞生标志”的《概念文字》（Begriffsschrift），提出了一套包含全称量词和存在量词的、独立于传统逻辑的现代形式逻辑体系。然而，弗雷格的工作起初默默无闻，直到 19 世纪末 20 世纪初（世纪之交），伯特兰·罗素（Bertrand Russell）接触到其成果后高度认可，并积极推广其思想。不过，弗雷格发明的二维逻辑记号法过于繁琐，实用性较差，如今已基本不被现代教材采用。

值得一提的是，1896 年，刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll-笔名，即《爱丽丝梦游仙境》的作者）撰写了西方第一本面向普通读者的符号逻辑科普教科书《符号逻辑》（Symbolic Logic）。

从 1890 年到 1905 年，恩斯特·施罗德（Ernst Schröder）出版了三卷本的《逻辑代数讲义》（Vorlesungen über die Algebra der Logik），这套书总结并扩展了布尔、德·摩根和皮尔士的工作，成为 19 世纪末符号逻辑的集大成之作。

基础理论的危机与重建

当时，人们越来越担心数学大厦的“地基”（即数学基础理论）不够牢固，这促使数学家开始为算术、分析和几何等核心领域构建严格的公理系统。

在数学基础研究的语境中，“算术”并非日常所说的“计算技巧”，而是特指关于自然数（1、2、3……）的性质、运算及关系的数学理论。朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）改良了布尔和施罗德的逻辑系统，加入了量词，并提出了一组算术公理（即皮亚诺公理），而皮亚诺当时并不知道弗雷格的工作。

与此同时，理查德·戴德金（Richard Dedekind）通过其创立的集合论理论框架证明了：自然数的核心性质可通过递归归纳性质（简单说就是“由已知推未知的递推规律”，比如由 1 可推出 2、由 2 可推出 3）被唯一确定（在同构意义下）。这一特征与皮亚诺公理中的归纳公理核心一致——所谓“在同构意义下唯一”，通俗来说就是不同的刻画方式本质上是等价的。戴德金提出了一种不同的刻画方式，虽然没有皮亚诺公理那样严格的形式逻辑表述特征，但他的系统能证明一些皮亚诺公理系统中难以直接证明的定理，比如自然数集的唯一性，以及加法、乘法运算的递归定义的合理性。

几何学方面，早在 19 世纪初，欧几里得公理体系的局限性逐渐显现。1826 年，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）确立了欧几里得公理体系中平行公设的独立性。此外，早期数学家发现欧几里得《几何原本》的论证中默认使用了公理中未明示的隐含前提（比如“一条线至少包含两个点”）。为了修补这些漏洞，希尔伯特在帕施（Pasch）工作的基础上，构建了一套完整的几何公理系统。几何公理化的成功让希尔伯特信心倍增，他开始寻求其他领域（如自然数理论和实数理论）的完全公理化。这成为了 20 世纪上半叶的主要研究方向。

19 世纪也是数学领域实分析分支突飞猛进的时代，其中关于函数收敛和傅里叶级数的相关理论不断完善。像卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）这样的数学家构造出了违反经典直觉的病态函数（pathological functions，指与传统直觉不符的函数，并非“有问题的函数”）——比如“处处连续但处处不可导”的函数（即函数图像在定义域内没有断点，却充斥着无限密集的尖峰与锯齿，而非平滑的曲线）。

随着实分析的深入发展，过去数学界那种把函数看作“计算规则”或“光滑曲线”的传统观念已经不够用了。魏尔斯特拉斯开始提倡“分析算术化”纲领，试图以自然数的性质为基础，将分析学严格公理化。

虽然波尔查诺（Bolzano）早在 1817 年就提出了现代严格的极限 定义，但该定义在当时并未被数学界广泛知晓和认可；柯西（Cauchy）在 1821 年还在仍沿用无穷小量的直观概念来定义连续性。直到 1858 年，戴德金通过对有理数集的戴德金分割（Dedekind cuts），给出了实数的严格定义，这个定义至今仍出现在教科书中。

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）奠定了现代无穷集合论的基础。他早期的成果建立了基数（cardinality，通俗来说，对无穷集合而言，核心是“无穷的大小”的度量）理论，并证明了实数集合与自然数集合的基数不同。简单说就是“无穷也有大小之分”：自然数集合是“可数无穷”，实数集合是“不可数无穷”，且实数集合的基数大于自然数集合的基数。

1891 年，他发表了实数不可数的新证明，引入了著名的对角线论证法，并用此法证明了康托尔定理：没有任何集合能与其幂集（即一个集合所有子集构成的集合）拥有相同的基数。康托尔相信每个集合都可以被良序化（well-ordered，通俗来说，就是给集合中的所有元素安排一个顺序，使得每个非空子集都有最小元素），但直到 1895 年他也未能给出证明，这在当时成了一个悬而未决的难题。

20 世纪

20 世纪初，数学基础领域的研究焦点主要集中在集合论和形式逻辑上。人们在非形式化的（朴素）集合论中发现了悖论，这些悖论的出现引发了数学基础危机，进而让人怀疑：数学基础（尤其是朴素集合论，即康托尔早期提出的、未经过严格公理化的集合论）可能存在自相矛盾的隐患。于是，寻找数学理论的一致性（Consistency，通俗来说就是一个理论中不会同时推出“某个命题为真”和“这个命题为假”，即理论内部无矛盾）的证明成了当务之急。

1900 年，希尔伯特提出了著名的 23 个问题。前两个问题均属于数学基础领域，分别是证明连续统假设的相容性（即与 ZF 集合论公理无矛盾）和证明初等算术的一致性。第十个问题则是寻找一种算法，能判定整数系数的多元多项式方程（即丢番图方程，通俗来说，就是判断“”这类整数系数多元多项式方程是否存在整数解）是否有解。为了解决这些问题，数理逻辑的发展方向被彻底改变了。

集合论与悖论

恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在引入选择公理的前提下，证明了每个集合都可以被良序化，证实了康托尔提出但未能证明的猜想。为了完成证明，策梅洛引入了选择公理（Axiom of Choice，通俗来说，就是对于任意多个非空集合，都存在一个“选择函数”，能从每个集合中选出一个元素），这在数学界引发了激烈的争论。面对批评，策梅洛发表了第二篇论文对选择公理进行辩护，经过长期的讨论和研究，选择公理最终被数学界普遍接受。

然而，朴素集合论中不断涌现的悖论，进一步加剧了人们对数学基础可靠性的怀疑。切萨雷·布拉利-福尔蒂（Cesare Burali-Forti）最先指出在朴素集合论中，所有序数的集合无法构成一个集合（即布拉利-福尔蒂悖论）。紧接着，罗素在 1901 年发现了著名的罗素悖论（通俗来说，就是“所有不包含自身的集合所构成的集合，是否包含自身？”这个问题会陷入自相矛盾）。

为了解决危机，策梅洛于 1908 年提出了第一个集合论公理系统（Z 系统），经亚伯拉罕·弗兰克尔（Abraham Fraenkel）补充替换公理和正则公理后，发展为ZF 集合论。策梅洛在其公理系统中引入“大小限制”原则（即不允许存在“包含所有集合的集合”这类“过大”的集合）巧妙地避开了罗素悖论。

1910 年，罗素和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）出版了计划从逻辑推导出全部数学的巨著《数学原理》（Principia Mathematica）第一卷。这部巨著在完全形式化的类型论（Type theory）框架下发展了数学函数和基数理论，试图从根本上消除悖论。虽然它是 20 世纪最有影响力的著作之一，但类型论框架因过于繁琐，作为数学基础并没有流行起来。

1922 年，弗兰克尔证明了，在包含本元（urelements）的策梅洛集合论中，在不额外添加其他公理的情况下无法推导出选择公理。后来，1963 年，保罗·科恩（Paul Cohen）证明了即便不需要本元，选择公理在 ZF 中也是不可证明、也不可证伪的（即选择公理与 ZF 公理独立）。科恩在证明中开发了力迫法，该方法已成为建立集合论独立性结果的核心工具。

符号逻辑

利奥波德·勒文海姆（Leopold Löwenheim）于 1915 年、托拉尔夫·斯科伦（Thoralf Skolem）于 1920 年共同完善并证明了 Löwenheim–Skolem 定理，该定理指出：对于一阶逻辑语言中的任何命题集（通俗来说，就是一组符合一阶逻辑规则的语句），如果它有一个无限模型（“模型”通俗来说可理解为能让这组命题都成立的具体数学结构），那么它一定有基数更小的无限模型。斯科伦意识到，这意味着任何一致的、基于可数语言的一阶集合论形式化系统，都一定有一个可数模型。这个反直觉的事实被称为斯科伦悖论（虽名为“悖论”，但并非真正的逻辑矛盾，而是人类直觉与形式化数学结果之间的冲突）。

库尔特·哥德尔于 1930 年在他的博士论文中证明了完备性定理（Completeness theorem），确立了一阶逻辑中语法（通俗来说，即“如何推导”的规则）和语义（通俗来说，即“语句真假”的解释）的对应关系。随后他又作为完备性定理的推论，证明了紧致性定理（Compactness theorem）。这些成果巩固了一阶逻辑作为数学家核心首选逻辑工具的地位，因为它兼具足够的表达能力和良好的理论性质。

1931 年，哥德尔发表了那篇具有里程碑意义的论文《论数学原理及相关系统中的形式不可判定命题》，证明了所有足够强的（即包含初等算术）、公理集是递归的（通俗来说，即存在明确方法，能机械判断任意一个语句是不是该理论的公理）的一阶理论都具有不完备性。这就是哥德尔不完备性定理。它给希尔伯特计划以沉重打击——它表明，任何足够强的、一致的、有效的算术形式理论，其一致性都无法在该理论内部得到证明。这通常被解读为希尔伯特纲领的终结。这里的“有效逻辑系统”，简单说就是其公理和推导规则都清晰明确，存在算法能判断“一个语句是不是公理”、“一步推导是不是符合规则”。

不过，这并不意味着一致性完全无法证明，只是不能在系统内部证明。根岑采用包含超限归纳法（传统数学归纳法的拓展，可用于证明涉及无穷对象的命题）的有限主义系统——这种系统仅承认有限个对象和有限步推理的有效性，是一种严格的推理框架——成功证明了算术的一致性。根岑的工作引入了切消（Cut elimination）和证明论序数等概念，成为了证明论的关键工具。

其他分支的兴起

阿尔弗雷德·塔尔斯基（Alfred Tarski）奠定了模型论的基础。

1935 年起，一群杰出的数学家以尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）的笔名，开始出版一系列百科全书式的数学教材《数学原本》（Éléments de mathématique）。这些书风格严谨、推崇公理化和集合论基础。像“双射”“单射”“满射”这些如今常用的术语，正是由他们系统化定义并推动普及的。

对可计算性的研究后来演变成了递归论（现学术界更常用“可计算性理论”）。对可计算性的早期形式化研究由哥德尔和克莱尼（Kleene）完成，他们的工作依赖于函数的递归定义。当这些基于递归的定义，被证明与图灵提出的图灵机（一种理想计算模型）所刻画的可计算范围完全等价时，人们才明确了“可计算函数”这一核心概念。哥德尔在 1931 年证明不完备性定理时，因缺乏“可计算函数”这一概念的严格定义而受到限制；当该概念明确后，他立刻意识到这是完善其定理的关键。

1940 年代，史蒂芬·科尔·克莱尼（Stephen Cole Kleene）和埃米尔·莱昂·波斯特（Emil Leon Post）在递归论方面取得了大量成果。克莱尼引入了相对可计算性和算术分层（Arithmetical hierarchy）的概念。他和格奥尔格·克赖塞尔（Georg Kreisel）还研究了直觉主义数学的形式化版本。直觉主义数学是强调“构造性”的流派，不承认逻辑中的排中律（即不认为“一个命题要么为真，要么为假”，拒绝“非真即假”的绝对判断），认为只有能通过有限步骤构造的对象才合法。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic#History

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片