目录

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的旋转

4.AVL树的验证

三、AVL树的性能

四、完结撒❀

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一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

● 它的左右子树都是AVL树 ● 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template struct AVLTreeNode { 	AVLTreeNode(const T& data) 		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) 		, _data(data), _bf(0) 	{} 	AVLTreeNode* _pLeft;   // 该节点的左孩子 	AVLTreeNode* _pRight;  // 该节点的右孩子 	AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲 	T _data; 	int _bf;                  // 该节点的平衡因子 };

2.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair& kv) {     // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中  	if (_root == nullptr) 	{ 		_root = new Node(kv); 		return true; 	}  	Node* parent = nullptr; 	Node* cur = _root; 	while (cur) 	{ 		if (cur->_kv.first > kv.first) 		{ 			parent = cur; 			cur = cur->_left; 		} 		else if (cur->_kv.first < kv.first) 		{ 			parent = cur; 			cur = cur->_right; 		} 		else 		{ 			//插入相同值 			return false; 		} 	} 	 	//找到cur所在位置 	cur = new Node(kv); 	if (parent->_kv.first > cur->_kv.first) 	{ 		parent->_left = cur; 		cur->_parent = parent; 	} 	else 	{ 		parent->_right = cur; 		cur->_parent = parent; 	}       // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否     //破坏了AVL树的平衡性           /*      pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent      的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：       1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可       2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可         此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2       1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功       2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新       3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理      */      //更新平衡因子 	while (parent) 	{ 		if (parent->_left == cur) 		{ 			parent->_bf--; 		} 		else 		{ 			parent->_bf++; 		}  		if (parent->_bf == 0) 		{ 			//二叉树高度没问题，更新结束 			break; 		} 		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) 		{             // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树             // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 			cur = parent; 			parent = parent->_parent; 		} 		else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) 		{             //双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性 			//二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡 			//判断是右单旋还是左单旋还是双旋 			 			//右单旋 			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) 			{ 				//... 			} 			//左单旋 			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) 			{ 				//... 			} 			//左右双旋 			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) 			{                 //... 			} 			//右左双旋 			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) 			{                 //... 			}  		} 		else 		{ 			//理论上不会出现这种状况 			assert(false); 		} 	}  	return true; }

3.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*   上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加   了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子 树增加一层，   即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有 右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点 的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：   1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在   2. 60可能是根节点，也可能是子树      如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点      如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树      此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解 */ void _RotateR(Node Parent) { 	// SubL: Parent的左孩子 	// SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该 	Node SubL = Parent->_Left; 	Node SubLR = SubL->_Right; 	// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子 	Parent->_Left = SubLR; 	// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲 	if (SubLR) 		SubLR->_Parent = Parent; 	// 60 作为 30的右孩子 	SubL->_Right = Parent;  	// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 	Node Parent = Parent->_Parent;  	// 更新60的双亲 	Parent->_Parent = SubL;  	// 更新30的双亲 	SubL->_Parent = Parent; 	// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针 	if (NULL == Parent) 	{ 		_root = SubL; 		SubL->_Parent = NULL; 	} 	else 	{ 		// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树 		if (Parent->_Left == Parent) 			Parent->_Left = SubL; 		else 			Parent->_Right = SubL; 	} 	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 	Parent->_bf = SubL->_bf = 0; }

2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

//左单旋 void LNode(Node* parent) { 	/*if (parent == _root) 	{ 		Node* pparent = nullptr; 	} 	else 	{ 		Node* pparent = parent->_parent; 	}*/ 	Node* pparent = parent->_parent;  	Node* subR = parent->_right; 	Node* subRL = subR->_left;  	parent->_left = subRL; 	if (subRL) 		subRL->_parent = parent;  	subR->_left = parent; 	parent->_parent = subR;  	if (pparent) 	{ 		subR->_parent = pparent;  		if (pparent->_left = parent) 		{ 			pparent->_left = subR; 		} 		else 		{ 			pparent->_right = subR; 		} 	} 	else 	{ 		_root = subR; 		subR->_parent = nullptr; 	}  	parent->_bf = subR->_bf = 0; }

3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进 //行调整 void _RotateLR(Node Parent) { 	Node SubL = Parent->_Left; 	Node SubLR = SubL->_Right;  	// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节 	点的平衡因子 		int bf = SubLR->_bf;  	// 先对30进行左单旋 	_RotateL(Parent->_Left);  	// 再对90进行右单旋 	_RotateR(Parent); 	if (1 == bf) 		SubL->_bf = -1; 	else if (-1 == bf) 		Parent->_bf = 1; }

4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

//右左双旋 void RLNode(Node* parent) { 	Node* subR = parent->_right; 	Node* subRL = subR->_left;  	int bf = subRL->_bf;  	RNode(parent->_right); 	LNode(parent);  	if (bf == 1) 	{ 		subRL->_bf = 0; 		subR->_bf = 0; 		parent->_bf = -1; 	} 	else if (bf == -1) 	{ 		subRL->_bf = 0; 		subR->_bf = 1; 		parent->_bf = 0; 	} 	else if (bf == 0) 	{ 		subRL->_bf = 0; 		subR->_bf = 0; 		parent->_bf = 0; 	} 	else 	{ 		//理论没有该状况 		assert(false); 	} }

总结： 假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑 1）Parent的平衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR

当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2）Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL

当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

4.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：         1. 验证其为二叉搜索树             如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树         2. 验证其为平衡树             ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)             ● 节点的平衡因子是否计算正确

int _size(Node* root) { 	return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1； }  int _Height(Node* root) { 	if (root == nullptr) 	{ 		return 0; 	}  	return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1; }  bool _IsBalance(Node* root) { 	if (root == nullptr) 	{ 		return true; 	}  	int LeftHeight = _Height(root->_left); 	int RightHeight = _Height(root->_right);  	if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2) 	{ 		return false; 	}  	//可以顺便再检查一下平衡因子 	if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf) 	{ 		cout << root->_kv.first << endl; 		return false; 	}  	return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }

三、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

四、完结撒❀

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