【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（四）

• 前言
• 算法入门刷题训练
• • 题目AB37：最长上升子序列(一)
  • • 题目分析
    • 理论准备
    • 题解
• 小结

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前言

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算法入门刷题训练

题目AB37：最长上升子序列(一)

题目分析

描述
给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度。
所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。
我们定义一个序列是 严格上升 的，当且仅当该序列不存在两个下标 i 和 j 满足 i

这道题目与上一篇【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（三）中练习的连续子数组最大和有个不同就是，要求的子数组不是连续的。因此可以定义动态规划数组dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度。从而推导出递推公式：dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（最大的连续子序列的长度）。

理论准备

任何算法都有相对应的算法模板或者有规律的解题步骤。对于动态规划来讲，做DP相关的算法题要熟练掌握下面DP解题步骤，这样有助于在面对到各种各样的题目时能够提高解题效率：

DP解题步骤:

1. 首先要确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？
2. 根据确定好的dp数组，给出递推公式，也叫状态转移方程。
3. 确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。
4. 确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
5. 根据测试用例进行验证

题解

具体的解决方案如下：

1. 首先确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？

// 这里使用一维dp // dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度 vector dp(n); 

2. 根据确定好的dp数组，给出递推公式。

// 根据题目分析得出了以下递推公式： // dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（当前值之前的最大的连续子序列的长度）。 int maxValue{};  // 求得从下标0到下标i-1中dp值的最大值 for(int j{};j     // 当当前值大于v[j]，才进行dp[j]的判断     if(v[i] > v[j]){         maxValue = max(maxValue,dp[j]);     } } // 然后dp[i]就等于之前的最大的连续子序列的长度加上当前数值 dp[i] = maxValue + 1; 

3. 确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。

// 根据dp[i]的定义，子序列的最短长度都是本身即1 vector dp(n,1); 

4. 确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。

// 本题从小到大遍历i for(int i{1};i 	int maxValue{}; 	// 内部从小到大，从大到小都可以     for(int j{};j         if(v[i] > v[j]){             maxValue = max(maxValue,dp[j]);         }     }     } 

5. 根据测试用例进行验证：选择所有的测试用例带入验证即可。

6. 完整代码如下：

#include  #include  using namespace std;  int main() {     int n;     cin >> n;          vector v(n);     for(int i{};i> v[i];          // dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度     vector dp(n,1);     int result{};     for(int i{1};i         int maxValue{};         for(int j{};j             if(v[i] > v[j]){                 maxValue = max(maxValue,dp[j]);             }         }                  dp[i] = maxValue + 1;                  if(dp[i] > result) result = dp[i];     }          cout << result << endl;     return 0; } // 64 位输出请用 printf("%lld") // 64 位输出请用 printf("%lld") 

当提交成功后，会展示如下界面，那么恭喜这道题目就通过了！

小结

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