对于多个随机变量相加的方差，我们可以按照独立和不独立的情况进行讨论。

1. 独立情况下的证明

假设我们有 n n n 个独立的随机变量 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1​,X2​,…,Xn​。

根据方差的性质，如果随机变量是独立的，则它们的方差可以直接相加：
Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 ) + … + Var ( X n ) \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \ldots + \text{Var}(X_n) Var(X1​+X2​+…+Xn​)=Var(X1​)+Var(X2​)+…+Var(Xn​)
证明：

1. 首先，计算期望： E [ X 1 + X 2 + … + X n ] = E [ X 1 ] + E [ X 2 ] + … + E [ X n ] \mathbb{E}[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = \mathbb{E}[X_1] + \mathbb{E}[X_2] + \ldots + \mathbb{E}[X_n] E[X1​+X2​+…+Xn​]=E[X1​]+E[X2​]+…+E[Xn​]
2. 然后，使用方差的定义： Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = E [ ( X 1 + X 2 + … + X n − E [ X 1 + X 2 + … + X n ] ) 2 ] \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathbb{E}[(X_1 + X_2 + \ldots + X_n - \mathbb{E}[X_1 + X_2 + \ldots + X_n])^2] Var(X1​+X2​+…+Xn​)=E[(X1​+X2​+…+Xn​−E[X1​+X2​+…+Xn​])2]
3. 展开并使用独立性： = E [ ∑ i = 1 n ( X i − E [ X i ] ) 2 + ∑ i ≠ j ( X i − E [ X i ] ) ( X j − E [ X j ] ) ] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mathbb{E}[X_i])^2 + \sum_{i \neq j}(X_i - \mathbb{E}[X_i])(X_j - \mathbb{E}[X_j])\right] =E[∑i=1n​(Xi​−E[Xi​])2+∑i=j​(Xi​−E[Xi​])(Xj​−E[Xj​])]对于独立的随机变量，协方差项的期望值为零，因此最后的公式为： = ∑ i = 1 n Var ( X i ) = \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i) =∑i=1n​Var(Xi​)

2. 不独立情况下的证明

如果 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1​,X2​,…,Xn​ 是不独立的随机变量，则需要考虑它们之间的协方差。

方差的计算公式为：
Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) + ∑ i ≠ j 2 Cov ( X i , X j ) \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i) + \sum_{i \neq j} 2 \text{Cov}(X_i, X_j) Var(X1​+X2​+…+Xn​)=∑i=1n​Var(Xi​)+∑i=j​2Cov(Xi​,Xj​)
证明：

1. 使用方差的定义： Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = E [ ( X 1 + X 2 + … + X n − E [ X 1 + X 2 + … + X n ] ) 2 ] \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathbb{E}[(X_1 + X_2 + \ldots + X_n - \mathbb{E}[X_1 + X_2 + \ldots + X_n])^2] Var(X1​+X2​+…+Xn​)=E[(X1​+X2​+…+Xn​−E[X1​+X2​+…+Xn​])2]
2. 展开平方： = ∑ i = 1 n E [ ( X i − E [ X i ] ) 2 ] + ∑ i ≠ j E [ ( X i − E [ X i ] ) ( X j − E [ X j ] ) ] = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(X_i - \mathbb{E}[X_i])^2] + \sum_{i \neq j} \mathbb{E}[(X_i - \mathbb{E}[X_i])(X_j - \mathbb{E}[X_j])] =∑i=1n​E[(Xi​−E[Xi​])2]+∑i=j​E[(Xi​−E[Xi​])(Xj​−E[Xj​])]
3. 第一项为方差，第二项为协方差的两倍和。
   最终，我们得到：
   Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) + ∑ i ≠ j 2 Cov ( X i , X j ) \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i) + \sum_{i \neq j} 2 \text{Cov}(X_i, X_j) Var(X1​+X2​+…+Xn​)=∑i=1n​Var(Xi​)+∑i=j​2Cov(Xi​,Xj​)

总结

• 独立情况下： Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i) Var(X1​+X2​+…+Xn​)=∑i=1n​Var(Xi​)
• 不独立情况下： Var ( X 1 + X 2 + … + X n ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) + ∑ i ≠ j 2 Cov ( X i , X j ) \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i) + \sum_{i \neq j} 2 \text{Cov}(X_i, X_j) Var(X1​+X2​+…+Xn​)=∑i=1n​Var(Xi​)+∑i=j​2Cov(Xi​,Xj​)