heap【堆】掌握

• 手写上浮、下沉、建堆函数

• 对一组数进行堆排序

• 直接使用接口函数heapq

什么是堆？？？堆是一个二叉树。也就是有两个叉。下面是一个大根堆：

大根堆的每一个根节点比他的子节点都大

有大根堆就有小根堆：

我们可以看到红9在绿9的下一层，大小堆中我们需要注意，【只有根节点对子节点的大小比较】，没有子节点之间的比较。

一、手写函数

def siftup(heap, pos):     endpos = len(heap)     startpos = pos     newitem = heap[pos]     # Bubble up the smaller child until hitting a leaf.     childpos = 2*pos + 1    # leftmost child position     while childpos < endpos:         # Set childpos to index of smaller child.         rightpos = childpos + 1         if rightpos < endpos and not heap[childpos] < heap[rightpos]:             childpos = rightpos         # Move the smaller child up.         heap[pos] = heap[childpos]         pos = childpos         childpos = 2*pos + 1     # The leaf at pos is empty now.  Put newitem there, and bubble it up     # to its final resting place (by sifting its parents down).     heap[pos] = newitem     '''up操作只是将孩子提上去，但是没有保证根节点比孩子小，现在比较孩子和父节点，     如果父节点更大，往下覆盖孩子节点，并且往上继续，比较上面的父节点，直至到头start，     将原来的子节点的值覆盖在此时的父节点上。'''     siftdown(heap, startpos, pos)  '''up与down一起维持小根堆性质''' def siftdown(heap, startpos, pos):     newitem = heap[pos]     # Follow the path to the root, moving parents down until finding a place     # newitem fits.     while pos > startpos:         parentpos = (pos - 1) >> 1         parent = heap[parentpos]         if newitem < parent:             heap[pos] = parent             pos = parentpos             continue         break     heap[pos] = newitem  def heappop(heap):     """Pop the smallest item off the heap, maintaining the heap invariant."""     lastelt = heap.pop()    # raises appropriate IndexError if heap is empty     print('pop:', lastelt)     if heap:         returnitem = heap[0]         heap[0] = lastelt         siftup(heap, 0)         print('heap:', heap)         print('returnitem', returnitem)         return returnitem     return lastelt  def heapify(x):     """Transform list into a heap, in-place, in O(len(x)) time."""     n = len(x)     for i in reversed(range(n//2)):         '''从最后一个根节点开始，将孩子节点最小的覆盖根节点，         并不断往下找，将较小的孩子提上来。直到没有孩子，将根节点的值覆盖到此时的孩子节点上'''         siftup(x, i)  def heap_sort(arr):     # 将数组转换为小根堆     heapify(arr)     print(arr)      # 弹出堆顶元素直到堆为空     '''每次pop最后一个节点，并输出根节点。     将最后一个节点覆盖在根节点上，并且进行up——down操作位置小根堆性质'''     return [heappop(arr) for _ in range(len(arr))]  if __name__ == '__main__':     # 示例数组     arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]     # 执行堆排序     sorted_arr = heap_sort(arr)     # 打印排序后的数组     print('sorted_arr', sorted_arr)

二、调用python接口

import heapq def heap_sort(arr):     # 将数组转换为小根堆     heapq.heapify(arr)     print(arr)      # 弹出堆顶元素直到堆为空     '''每次pop最后一个节点，并输出根节点。     将最后一个节点覆盖在根节点上，并且进行up——down操作位置小根堆性质'''     return [heapq.heappop(arr) for _ in range(len(arr))]  if __name__ == '__main__':     # 示例数组     arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]     # 执行堆排序     sorted_arr = heap_sort(arr)     # 打印排序后的数组     print('sorted_arr', sorted_arr)

输出：

[1, 1, 2, 3, 3, 9, 4, 6, 5, 5, 5]
sorted_arr [1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 9]

三、时间复杂度

1. siftup(heap, pos) 函数：

   • 这个函数将一个元素上浮到它应该在的位置。在最坏的情况下，它可能需要上浮到堆的根节点，时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是堆中元素的数量。

2. siftdown(heap, startpos, pos) 函数：

   • 这个函数将一个元素下沉到它应该在的位置。同样，在最坏的情况下，它可能需要下沉到叶子节点，时间复杂度也是 O(log n)。

3. heappop(heap) 函数：

   • 这个函数移除并返回堆顶元素（最小元素），然后通过调用 siftup 来修复堆。siftup 的时间复杂度是 O(log n)，所以 heappop 的时间复杂度也是 O(log n)。

4. heapify(x) 函数：

   • 这个函数将一个数组转换成一个堆。它从最后一个父节点开始，向上调用 siftup。由于堆的最后一个父节点的索引是 n/2 - 1（n 是数组的长度），所以它实际上调用了大约 n/2 次 siftup。因此，heapify 的时间复杂度是 O(n)。

5. heap_sort(arr) 函数：

   • 这个函数首先调用 heapify 将数组转换成一个堆，然后通过 n 次调用 heappop 来移除所有元素。由于 heapify 的时间复杂度是 O(n)，并且 heappop 的时间复杂度是 O(log n)，heap_sort 的总时间复杂度是 O(n log n)。

总结：

• 时间复杂度：
  • siftup: O(log n)
  • siftdown: O(log n)
  • heappop: O(log n)
  • heapify: O(n)
  • heap_sort: O(n log n)

整体上，对于堆排序算法的时间复杂度分析如下

• 构建堆（Heapify）：heapify 函数将数组转换成一个堆。对于一个长度为 n 的数组，heapify 的时间复杂度是 O(n)。这是通过从最后一个父节点开始，向上调用 siftup 实现的，每个 siftup 操作的时间复杂度是 O(log n)，但由于堆的结构特性，实际上 heapify 的总体时间复杂度是线性的。

• 堆排序（Heap Sort）：在 heap_sort 函数中，首先调用 heapify 将数组转换成一个堆，然后通过 n 次调用 heappop 来移除所有元素。每次 heappop 操作的时间复杂度是 O(log n)。因此，n 次 heappop 的总时间复杂度是 O(n log n)。

• 综合以上两点，堆排序的整体时间复杂度是 O(n + n log n)，简化后为 O(n log n)。这是因为在堆排序过程中，构建堆是一次性的，而移除元素需要 n 次操作，每次操作的复杂度是 log n。

• 空间复杂度：O(1)，因为所有操作都是原地进行的。