目录

• 如何知道一个点是否在 A ˉ \bar A Aˉ 中
• • 例子
• 聚点 Limit Point
• • 例子
• 聚点和闭包的关系

如何知道一个点是否在 A ˉ \bar A Aˉ 中

定理：已知 A A A 是 ( X , T ) (\mathbb X,\mathscr T) (X,T) 的子集，则有以下两条成立：

1. x ∈ A ˉ x\in\bar A x∈Aˉ 当且仅当 ∀ U ∈ T 且 x ∈ U , U ∩ A ≠ ∅ \forall U\in \mathscr T且x\in U,U\cap A\neq \mathbb \empty ∀U∈T且x∈U,U∩A=∅；
2. 设 B \mathscr B B 是能够用来生成 T \mathscr T T 的一个基，此时则有 x ∈ A ˉ x\in\bar A x∈Aˉ 当且仅当 ∀ B ∈ B 且 x ∈ B , B ∩ A ≠ ∅ \forall B\in \mathscr B且x\in B,B\cap A\neq \mathbb \empty ∀B∈B且x∈B,B∩A=∅。

对于这两条性质，用语言可以直观地描述为：

1. 点 x x x 在集合 A A A 的闭包之中，等价于，所有含 x x x 的开集 U U U 均与 集合 A A A 有交集；
2. 点 x x x 在集合 A A A 的闭包之中，等价于，所有含 x x x 的基元素 S S S 均与集合 A A A 有交集。

出于篇幅我们只证明其中的第一条。

考虑闭包的定义： A ˉ \bar A Aˉ 是所有包含 A A A 的开集 的交集。若 x ∈ A ˉ x\in \bar A x∈Aˉ 则说明所有含 A A A 的开集的公共部分一定包含了 x x x。考虑这个定理的逆否命题：

x ∉ A ˉ    i f f    ∃ C , A ⊆ C , X − C ∈ T    s . t .    x ∉ C x\not \in \bar A\;iff\;\exist C,A\subseteq C,\mathbb X-C\in \mathscr T\;s.t.\;x\not\in C x∈Aˉiff∃C,A⊆C,X−C∈Ts.t.x∈C

即： x x x 不在 A ˉ \bar A Aˉ 中，等价于， X \mathbb X X 中存在一个包含 A A A 的闭集 C C C，使 x x x 不在 C C C 中。

从开集的角度说，就是：

x ∉ A ˉ    i f f    ∃ U ∈ T , U ∩ A = ∅    s . t .    x ∈ U x\not \in \bar A\;iff\;\exist U\in \mathscr T, U\cap A=\mathbb \empty\;s.t.\;x\in U x∈Aˉiff∃U∈T,U∩A=∅s.t.x∈U

考虑上文中提到的那个闭集合 C C C 的补集 U U U，存在一个包含 A A A 的 C C C 使得 x x x 不在 C C C 中，也就是存在一个与 A A A 没有交集的 U U U 使得 x x x 在 U U U 中。

而这个命题的逆否命题即为我们要证明的 1。

x ∈ A    i f f    ∀ U ∈ T , x ∈ U , U ∩ A = ∅ , x\in A\;iff\;\forall U\in \mathscr T,x\in U, U\cap A=\mathbb \empty, x∈Aiff∀U∈T,x∈U,U∩A=∅,

例子

R \mathbb R R 上的标准拓扑上 A = ( 0 , 1 ] A=(0, 1] A=(0,1]，可以证明 0 ∈ A ˉ 0\in \bar A 0∈Aˉ。

使用上文中的第二条，所有开区间在 R \mathbb R R 上构成了标准拓扑的一个基，显然所有的含 0 0 0 的开区间都和区间 A A A 相交，因此 0 ∈ A ˉ 0\in \bar A 0∈Aˉ。

聚点 Limit Point

A A A 是拓扑空间 ( X , T ) (\mathbb X, \mathscr T) (X,T) 的一个子集， x ∈ X x\in \mathbb X x∈X 是拓扑空间中的一个点，若满足下面的条件，则称 x x x 是 A A A 的聚点：

∀ U ∈ T , x ∈ U , U ∩ A − { x } ≠ ∅ \forall U\in \mathscr T, x\in U, U\cap A-\{x\}\neq \mathbb \empty ∀U∈T,x∈U,U∩A−{x}=∅

用语言描述为： X \mathbb X X 中所有含 x x x 的开集，都至少与 A A A 相交于除 x x x 之外的一点。注： U ∩ A U\cap A U∩A 不一定包含了 x x x。

例子

在 R \mathbb R R 上的标准拓扑空间上，集合 A = { 1 n ∣ n ∈ Z + } A=\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb Z_+\} A={n1​∣n∈Z+​}， 0 0 0 是集合 A A A 的唯一一个聚点。

聚点和闭包的关系

设 A A A 是 ( X , T ) (\mathbb X, \mathscr T) (X,T) 的子集， A ′ A' A′ 是 集合 A A A 聚点构成的集合（有时也称 A ′ A' A′ 为 A A A 的导集），则有 A ˉ = A ′ + A \bar A=A'+A Aˉ=A′+A。

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