矩阵乘法

矩阵乘法推导过程

一、两个线性方程复合代入

二、X1和X2合并同类项

三、复合后方程组结果

四、线性方程组矩阵表示

五、线性方程组矩阵映射表示

复合映射表示

六、矩阵乘法导出

矩阵乘法法则

1、规则一推导过程

左取行，右取列，对应相乘后相加，行数列数定位置

①、a11 = rL1cR1 = (5,6)+(1,3)=51+6*3

②、a12=rL1cR2=(5,6)(2,4)=(52+64)

③、a21 = rL2 * cR1 = (7,8)(1,3) = (71+83)

④、a22 = rL2 * cR2 = (7,8)(2,4)=(72+84)

⑤、结论

2、规则二推导过程

矩阵乘法无交换律，运算时需要区分左右矩阵
矩阵相当于一个映射，复合映射没有交换律，因此矩阵乘法无交换律

3、规则三推导过程

一个m x n的左矩阵乘以一个n x s的右矩阵，乘积矩阵大小是m*s。

两个矩阵可以相乘的条件是：左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

矩阵乘法结论

特殊矩阵的乘法

零矩阵

零矩阵推导过程

在满足矩阵乘法的条件下，一个矩阵和另一个零矩阵相乘，得到的结果是一个零矩阵。不论参数中的零矩阵在右侧还是在左侧，同时零矩阵的结果O是不一样的，以下图为例

零矩阵结论

当两个矩阵相乘的结果是零矩阵，并不意味着两个参数中有一个参数是零矩阵。
结论为：

• AB=O，并不意味着A=O或者B=O。
• A=O或B=O，必有AB=O。
• 若AB≠O，则必有A≠O且B≠O。

零矩阵推导线性方程解判断

• 通过零矩阵结论"AB=O并不意味着A=O或者B=O"得出，在齐次线性方程组Ax=0中， 可能存在x≠0的情况，因此可能存在非零解。
• 通过零矩阵结论"AB≠O，则必有A≠O且B≠O"得出，在非齐次线性方程组Ax=b若有解，则必有x≠0，即必定有非零解。

对角阵

行列数相同的矩阵，主对角线有值且不全为零，其他位置都为零的矩阵是对角阵。
一个矩阵乘以一个对角阵的结果其实就是矩阵和对角阵每一个值相乘的结果。

单位阵

一个行列相同的矩阵，只有主对角线有值且都不为零，其他位置都为零则这个矩阵称为对角阵，当主对角线的值都是1的时候，这个矩阵称为单位阵。单位阵用大写E表示。
单位阵与任何一个矩阵相乘得到的还是矩阵本身。用线性表示就是：A矩阵和E单位阵相乘，得到的还是A。即AE=A。

行向量和列向量相乘

只有一行或者一列的矩阵称为向量，分别是行向量和列向量。
一个满足向量相乘规则的行向量乘以一个列向量，结果是一个数字。

一个满足向量相乘规则的列向量乘以一个行向量，结果是一个各行和各列成比例的矩阵。

矩阵相乘的“秩”

两个矩阵相乘的结果矩阵的秩不超过两个矩阵中秩较小矩阵对应的秩。

矩阵乘法总体结论

矩阵乘法具有结合律

转置矩阵

行列换位。在矩阵右上角加个T表示。

矩阵转置不符合传递。

方阵

行数和列数相同的矩阵称为方阵。
同等大小的方阵相乘得到一个同等大小的方阵，且两个方阵相乘是可交换的，且具有结合律。

方阵的乘方

能够乘方的矩阵一定必须是方阵

对角阵的乘方

单位阵的乘方

矩阵乘法的性质总结

原学习视频合集链接《俗说矩阵》