深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - CrossEntropyLoss

flyfish

本系列的主要内容是在2017年所写，GPT使用了交叉熵损失函数，所以就温故而知新，文中代码又用新版的PyTorch写了一遍，在看交叉熵损失函数遇到问题时，可先看链接提供的基础知识，可以有更深的理解。

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - one-hot 编码
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 对数
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 概率基础
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 概率分布
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 损失函数
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 归一化
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 信息论（交叉熵）
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - Softmax
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.LogSoftmax

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 似然
深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.NLLLoss
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.CrossEntropyLoss

深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss

• 深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - CrossEntropyLoss
• • LogSoftmax和 NLLLoss两者的结合，对比立使用CrossEntropyLoss
  • • 解释
    • 直观解释 Softmax和负对数似然
  • 二分类问题
  • • 手动计算步骤
    • 代码实现
  • 多分类问题
  • • 手动计算步骤
    • 代码验证

具体来说，torch.nn.CrossEntropyLoss 计算的是预测值与目标值之间的交叉熵损失。对于多分类问题，交叉熵损失是最常用的损失函数，因为它直接衡量了两个概率分布（预测概率分布和实际分布）之间的差异。

LogSoftmax和 NLLLoss两者的结合，对比立使用CrossEntropyLoss

nn.CrossEntropyLoss 在内部已经包含了 LogSoftmax 和 NLLLoss 的操作。
编写代码验证，分别是 LogSoftmax和 NLLLoss两者的结合，对比立使用CrossEntropyLoss。

import torch import torch.nn as nn  # 输入张量 (batch_size=2, num_classes=3) input_tensor = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [1.0, 2.0, 3.0]]) # 目标张量 (batch_size=2) target_tensor = torch.tensor([2, 0])  # 使用 nn.LogSoftmax 和 nn.NLLLoss log_softmax = nn.LogSoftmax(dim=1) log_probs = log_softmax(input_tensor) nll_loss = nn.NLLLoss() loss = nll_loss(log_probs, target_tensor) print(f'Loss using LogSoftmax and NLLLoss: {loss.item()}')  # 使用 nn.CrossEntropyLoss cross_entropy_loss = nn.CrossEntropyLoss() loss_ce = cross_entropy_loss(input_tensor, target_tensor) print(f'Loss using CrossEntropyLoss: {loss_ce.item()}') 

输出结果
Loss using LogSoftmax and NLLLoss: 1.4076058864593506
Loss using CrossEntropyLoss: 1.4076058864593506

解释

对于单个样本，交叉熵损失的定义如下：

CrossEntropyLoss = − ∑ i = 1 C y i log ⁡ ( y ^ i ) \text{CrossEntropyLoss} = -\sum_{i=1}^{C} y_i \log(\hat{y}_i) CrossEntropyLoss=−i=1∑C​yi​log(y^​i​)

其中：

• C C C 是类别的数量。
• y i y_i yi​ 是真实标签的一个one-hot编码（若样本属于类别 i i i，则 y i = 1 y_i = 1 yi​=1，否则 y i = 0 y_i = 0 yi​=0）。
• y ^ i \hat{y}_i y^​i​ 是模型预测的第 i i i 类的概率。

直观解释 Softmax和负对数似然

交叉熵损失结合了两个概念：

1. Softmax
   首先将模型输出的原始分数（logits）通过 softmax 函数转换成概率分布，Softmax 函数将 logits 转换为概率分布。对于一个有 C C C 个类别的分类问题，Softmax 公式如下：

y ^ i = exp ⁡ ( z i ) ∑ j = 1 C exp ⁡ ( z j ) \hat{y}_i = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{j=1}^{C} \exp(z_j)} y^​i​=∑j=1C​exp(zj​)exp(zi​)​

其中 z i z_i zi​ 是第 i i i 类的 logit。

2. 负对数似然
   计算这些概率分布与真实标签之间的负对数似然。在获得概率分布后，交叉熵损失计算真实标签的负对数概率。如果真实标签对应的类别概率很高，损失就小；如果概率很低，损失就大。这驱动模型在训练过程中提高真实标签类别的预测概率。

以下是一个简单的示例，展示如何计算交叉熵损失：

import torch import torch.nn as nn  # 假设我们有两个样本，每个样本属于3个类别中的一个 logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1], [0.5, 2.0, 0.3]]) # 真实标签 labels = torch.tensor([0, 1])  # 使用 nn.CrossEntropyLoss 计算损失 criterion = nn.CrossEntropyLoss() loss = criterion(logits, labels) print(f'Cross Entropy Loss: {loss.item()}') 

Cross Entropy Loss: 0.37882310152053833
在这个示例中：

• logits 是模型输出的原始分数。
• labels 是真实的类别标签。
• nn.CrossEntropyLoss 会先将 logits 转换为概率分布，然后计算真实标签的负对数似然损失。

二分类问题

二分类交叉熵损失的公式为：

CrossEntropyLoss = − ( y log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − y ^ ) ) \text{CrossEntropyLoss} = - (y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y})) CrossEntropyLoss=−(ylog(y^​)+(1−y)log(1−y^​))

手动计算步骤

1. 计算 Sigmoid 激活值

假设:

• 真实标签 y = 1 y = 1 y=1
• 模型输出的logits为 z = 1.5 z = 1.5 z=1.5
  计算过程:
  σ ( z ) = 1 1 + exp ⁡ ( − 1.5 ) \sigma(z) = \frac{1}{1 + \exp(-1.5)} σ(z)=1+exp(−1.5)1​

我们使用更高精度来计算:
exp ⁡ ( − 1.5 ) ≈ 0.22313016014842982 \exp(-1.5) \approx 0.22313016014842982 exp(−1.5)≈0.22313016014842982
σ ( z ) = 1 1 + 0.22313016014842982 ≈ 1 1.22313016014842982 ≈ 0.8175744761936437 \sigma(z) = \frac{1}{1 + 0.22313016014842982} \approx \frac{1}{1.22313016014842982} \approx 0.8175744761936437 σ(z)=1+0.223130160148429821​≈1.223130160148429821​≈0.8175744761936437

2. 计算交叉熵损失

CrossEntropyLoss = − ( y log ⁡ ( σ ( z ) ) + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − σ ( z ) ) ) \text{CrossEntropyLoss} = - (y \log(\sigma(z)) + (1 - y) \log(1 - \sigma(z))) CrossEntropyLoss=−(ylog(σ(z))+(1−y)log(1−σ(z)))
CrossEntropyLoss = − log ⁡ ( 0.8175744761936437 ) \text{CrossEntropyLoss} = - \log(0.8175744761936437) CrossEntropyLoss=−log(0.8175744761936437)
log ⁡ ( 0.8175744761936437 ) ≈ − 0.2014132779827524 \log(0.8175744761936437) \approx -0.2014132779827524 log(0.8175744761936437)≈−0.2014132779827524
CrossEntropyLoss ≈ 0.2014132779827524 \text{CrossEntropyLoss} \approx 0.2014132779827524 CrossEntropyLoss≈0.2014132779827524

代码实现

import torch import torch.nn as nn import math  # 真实标签和 logits labels = torch.tensor([1.0]) logits = torch.tensor([1.5])  # 使用 BCEWithLogitsLoss criterion = nn.BCEWithLogitsLoss() loss = criterion(logits, labels) print(f'Binary Classification Cross Entropy Loss: {loss.item()}')  # 手动计算 sigmoid 和交叉熵损失 sigmoid = 1 / (1 + math.exp(-1.5)) manual_loss = - (1 * math.log(sigmoid) + (1 - 1) * math.log(1 - sigmoid)) print(f'Manually Computed Cross Entropy Loss: {manual_loss}') 

输出结果

Binary Classification Cross Entropy Loss: 0.20141397416591644 Manually Computed Cross Entropy Loss: 0.2014132779827524 

多分类问题

假设有3个类别：

• 真实标签为第3类，所以one-hot编码 y = [ 0 , 0 , 1 ] y = [0, 0, 1] y=[0,0,1]。
• 模型预测的logits为 logits = [ 0.1 , 0.2 , 0.7 ] \text{logits} = [0.1, 0.2, 0.7] logits=[0.1,0.2,0.7]。

手动计算步骤

1. 计算Softmax：
   y ^ i = exp ⁡ ( z i ) ∑ k = 1 C exp ⁡ ( z k ) \hat{y}_i = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{k=1}^{C} \exp(z_k)} y^​i​=∑k=1C​exp(zk​)exp(zi​)​

具体计算：

y ^ 1 = exp ⁡ ( 0.1 ) exp ⁡ ( 0.1 ) + exp ⁡ ( 0.2 ) + exp ⁡ ( 0.7 ) \hat{y}_1 = \frac{\exp(0.1)}{\exp(0.1) + \exp(0.2) + \exp(0.7)} y^​1​=exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.7)exp(0.1)​
y ^ 2 = exp ⁡ ( 0.2 ) exp ⁡ ( 0.1 ) + exp ⁡ ( 0.2 ) + exp ⁡ ( 0.7 ) \hat{y}_2 = \frac{\exp(0.2)}{\exp(0.1) + \exp(0.2) + \exp(0.7)} y^​2​=exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.7)exp(0.2)​
y ^ 3 = exp ⁡ ( 0.7 ) exp ⁡ ( 0.1 ) + exp ⁡ ( 0.2 ) + exp ⁡ ( 0.7 ) \hat{y}_3 = \frac{\exp(0.7)}{\exp(0.1) + \exp(0.2) + \exp(0.7)} y^​3​=exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.7)exp(0.7)​

计算得到：

exp ⁡ ( 0.1 ) ≈ 1.1052 \exp(0.1) \approx 1.1052 exp(0.1)≈1.1052
exp ⁡ ( 0.2 ) ≈ 1.2214 \exp(0.2) \approx 1.2214 exp(0.2)≈1.2214
exp ⁡ ( 0.7 ) ≈ 2.0138 \exp(0.7) \approx 2.0138 exp(0.7)≈2.0138

总和：

exp ⁡ ( 0.1 ) + exp ⁡ ( 0.2 ) + exp ⁡ ( 0.7 ) ≈ 1.1052 + 1.2214 + 2.0138 = 4.3404 \exp(0.1) + \exp(0.2) + \exp(0.7) \approx 1.1052 + 1.2214 + 2.0138 = 4.3404 exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.7)≈1.1052+1.2214+2.0138=4.3404

各个概率：

y ^ 1 = 1.1052 4.3404 ≈ 0.2546 \hat{y}_1 = \frac{1.1052}{4.3404} \approx 0.2546 y^​1​=4.34041.1052​≈0.2546
y ^ 2 = 1.2214 4.3404 ≈ 0.2814 \hat{y}_2 = \frac{1.2214}{4.3404} \approx 0.2814 y^​2​=4.34041.2214​≈0.2814
y ^ 3 = 2.0138 4.3404 ≈ 0.4639 \hat{y}_3 = \frac{2.0138}{4.3404} \approx 0.4639 y^​3​=4.34042.0138​≈0.4639

1. 计算交叉熵损失：
   CrossEntropyLoss = − ( 0 ⋅ log ⁡ ( 0.2546 ) + 0 ⋅ log ⁡ ( 0.2814 ) + 1 ⋅ log ⁡ ( 0.4639 ) ) \text{CrossEntropyLoss} = - (0 \cdot \log(0.2546) + 0 \cdot \log(0.2814) + 1 \cdot \log(0.4639)) CrossEntropyLoss=−(0⋅log(0.2546)+0⋅log(0.2814)+1⋅log(0.4639))
   CrossEntropyLoss = − log ⁡ ( 0.4639 ) ≈ 0.769 \text{CrossEntropyLoss} = - \log(0.4639) \approx 0.769 CrossEntropyLoss=−log(0.4639)≈0.769

代码验证

import torch import torch.nn as nn import torch.nn.functional as F  # 模拟输入的 logits 和真实标签 logits = torch.tensor([[0.1, 0.2, 0.7]], requires_grad=True) labels = torch.tensor([2])  # 使用 CrossEntropyLoss criterion = nn.CrossEntropyLoss() loss = criterion(logits, labels) print(f'Computed Cross Entropy Loss (using nn.CrossEntropyLoss): {loss.item()}')  # 手动计算 softmax 和交叉熵损失 softmax_probs = F.softmax(logits, dim=1) manual_loss = -torch.log(softmax_probs[0, labels]) print(f'Manually Computed Cross Entropy Loss: {manual_loss.item()}') 

输出结果

Computed Cross Entropy Loss (using nn.CrossEntropyLoss): 0.7679495811462402 Manually Computed Cross Entropy Loss: 0.7679495811462402 

注意在多分类问题的代码中，我们提供了logits而不是softmax后的概率，因为nn.CrossEntropyLoss会在内部应用softmax。

在二分类问题中，我们可以使用 nn.BCEWithLogitsLoss，它会在内部应用 Sigmoid 激活函数，并计算二分类的交叉熵损失。
在多分类问题中，我们可以使用 nn.CrossEntropyLoss，它会在内部应用 Softmax 激活函数，并计算多分类的交叉熵损失