完全背包

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品     for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量         dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);     } } 

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品     for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量         dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);     } } 

在01背包中，遍历物品在外层，遍历容量在内层；
而在完全背包中，两个for遍历的先后顺序不影响.

卡码网-52.携带研究材料

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题目

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间
接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述

输出一个整数，表示最大价值。

if __name__ == '__main__':     # 行李容量空间     N, bagWeight = map(int, input().split())          # 初始化重量和价值的数组     weight = []     value = []      # 逐行读取接下来的N行数据     for _ in range(N):         w, v = map(int, input().split())         weight.append(w)# 重量         value.append(v) # 价值           dp = [0] * (bagWeight + 1)     for i in range(len(weight)):  # 遍历物品         for j in range(weight[i] , bagWeight+1):  # 遍历背包容量             dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])     print(dp[-1])   

518. 零钱兑换 II

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给定不同面额的硬币coins和一个总金额amount。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

1. 确定dp含义
   凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2. 确定递推公式
   dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
   所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
3. 初始化
   dp[0] = 1
4. 确定遍历方向
   外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）。计算的是组合数。
   内层for循环遍历物品（钱币），外层for遍历背包（金钱总额）。计算的是排列数。

class Solution:     def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:         dp = [0]*(amount + 1)         dp[0]=1         for i in range(len(coins)):             for j in range(coins[i], amount+1):                 dp[j]+=dp[j - coins[i]]         return dp[-1] 

377. 组合总和 Ⅳ

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给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组nums，找出和为给定目标正整数target的排列的个数。

1. 确定dp含义
   凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[i - nums[j]]
3. 初始化
   dp[0] = 1
4. 确定遍历方向
   求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
   target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution:     def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:         dp = [0]*(target+1)         dp[0]=1         for i in range(1, target+1):             for j in range(len(nums)):                 if i - nums[j] >= 0:                     dp[i] += dp[i - nums[j]]          return dp[-1] 

70. 爬楼梯

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题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述

输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述

输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

思路

完全背包问题，1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

1. 确定dp含义
   dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2. 确定递推公式
   求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
   本题，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
   那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
3. 初始化
   dp[0]=1
4. 确定遍历方向
   target放在外循环，将nums放在内循环

if __name__ == '__main__':     n, m = map(int, input().split())     dp = [0] * (n+1)     dp[0] = 1     for j in range(1, n+1):         for i in range(1, m+1):             if j >= i:                 dp[j] += dp[j-i]     print(dp[-1])