要5个证全等三角形的题(初2时期),不要课本上的,19点半之前上交,好的话,另加分(要超难的,带图和答案 ( 全等三角形难题(含答案) )
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要证△ABC≌△A1B1C1，因为已经知道了两边一角对应相等，所以只要再找出剩下一组对边相等或一组对角相等都可证明这两个三角形全等.解：（1）∵ AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°，∴ △ADB≌△A1D1B1，∴ ∠A=∠A1，
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCB＝50°，∠EBC＝60°，求∠DEB的度数。答案：证明:作∠HCD=10°，交DE于G,交BE于F，连接DF ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠A=20°,∴∠ABC=∠
16． 如图13，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角 形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出___个。17． 如图14， 分别是锐角三角形 和锐角三角形 中 边上的高，
1.求证：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 2.ABC是等边三角形，点D,E,F分别是线段AB.BC.CA上的点，若DEF是等边三 角形 问 AD=BE=CF是否成立？并说明理由。3.△ABC中，AC=BC,∠ABC=90°，D是
例2 如图2-2所示.△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证:GD=GE. 分析 从图形看,GE,GD分别属于两个显然不全等的三角形:△GEC和△GBD.此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件,
要5个证全等三角形的题(初2时期),不要课本上的,19点半之前上交,好的话,另加分(要超难的,带图和答案
∵∠BCD=50° ∵∠HCD=10° ∴∠HCB=60° ∵∠FBC=60° ∴△BCF是等边三角形 ∴BC=BF ∵∠BCD=50° ∵∠DBC=80° ∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180° ∴∠BDC=50° ∵∠BCD=50° ∴∠BDC=∠BCD ∴BD=BC ∴BD
在三角形ABC中，角CAE=角B，E是CD的中点，AD平分角BAE 证明BD=AC 向左转|向右转 在AB上作一点F，使AF=AE，则由AD是角BAE的平分线知三角形ADE全等于三角形ADF，得DF=DE，角DEA=角DFA，由E是CD的中点知CE=DE=DF
1、三角形ABC中，角ABC=90度，M为上AB一点，AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连AN、CM交于点P，求角APM的度数 对不起，不会在网上画图，2、 四边形ABCD中，AB=BC，角ABC=60度，P为四边形内一点，角APD=120度，证
9 在一个圆上,在圆内做两个三角形,圆心是公共的两个三角形 的端点,且这两个角度数都为30度,求两三角形全等． （由 于圆半径相等,且两边夹角相等,所以SAS）10 .已知：三角形中AB＝AC,求证：（1）∠B＝∠C 11
1.在两个三角形中，有两条边分别相等，且它们的夹角的角平分线也对应相等。求证，这两个三角形全等.2.如果两个三角形有两边和第三边上的中线对应相等，证明这两个三角形全等 .3.如图，已知△ABC的B边上的中线。求证A
1.求证：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 2.ABC是等边三角形，点D,E,F分别是线段AB.BC.CA上的点，若DEF是等边三 角形 问 AD=BE=CF是否成立？并说明理由。3.△ABC中，AC=BC,∠ABC=90°，D是
求一些初二数学全等三角形的证明题,题目要难一点,但是不要太普遍,越多越好?
过D作DG垂直AB,DH垂直AC,垂足G,H 所以角EGD=FHD=90度 因AD平分角BAC 所以DG=DH 因为角BAC+EDF=180度,所以角AED+角DFH=180度 因为角AED+DEG=180度 所以角DEG=DFH 所以三角形DEG全等于DFH 所以DE=DF
归纳与猜想：设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜ ⅛0°n）；（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义
答案:在BC上截一点Q,使角COQ=角DOC 论证三角形CDO全等于三角形COQ(ASA)论证三角形BOE全等于三角形BOQ(ASA)角A=60 所以 角B+C=120 角B+C/2=120/2=60 所以B+C=120角COD=180-120=60 角BOE=180-120=60 过O
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED。（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△___≌△___并
一、填空题1．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．2．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．3．把两根钢条AA?、BB?的中点
1 如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC：∠BCA=3：2，CD⊥AD于D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数.2 有四条线段，分别是x-3，x，x+1，x+2（x＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？3.在△ABC中，
号的题目加100悬赏分速求 1、三角形ABC，角A=60°，∠B、∠C的角平分线BE与CD交与点O求:OE=OD. 在BC上取点G，使得BD=BG 因为∠A=60° 所以∠BOC=120° 因为∠DOB=∠EOC(对顶角) 所以∠DOB=∠EOC
七年级下册数学全等三角形难题,越难越好!号的题目加100悬赏分速求
1. 已知：D是AB中点,∠ACB=90°,求证：D A B C 2、 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C A B C D 3、 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证：AC-AB=2BE 4、 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,A
AF=AG.2.三角形中角度关系的证明 【例3】如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.【分析】由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF
如图,已知△ABC和△DEC都是等边三角形,∠ACB=∠DCE=60°,B、C、E在同一直线上,连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点,CD‖BE,且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点,AE=BF,又AC
如图，Rt△ABC中，∠C= , ∠ABC= ，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 ___
22. (12分) 如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.（图自己画，这是2009年河南新乡市八年级全等三角形单元测试）(1)试说明: BD=D
急需八年级全等三角形证明题,压轴大题。要图。
解：∵AB=AC，∠B=∠CAE=60°，BD=AE ∴△ABD≌△CAE（SAS）∴∠BAD=∠ACE ∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60° ∴∠DFC=∠ACE+∠CAD=60° ②同样成立。∠DFC=60° 证明：∵∠ABC=∠BAC=60° ∴∠ABD=∠CAE=120°
且AE=EF，请问BF=AC吗？因为：延长AD并过B点作AC的平行线，相交于G点 所以：则AC//BG,AE=EF,可得BF=BG 因为：在三角形BDG和三角形CDA中 所以：BD=CD,
于圆半径相等,且两边夹角相等,所以SAS）10 .已知：三角形中AB＝AC,求证：（1）∠B＝∠C 11 三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)12 三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等
16． 如图13，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角 形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出___个。17． 如图14， 分别是锐角三角形 和锐角三角形 中 边上的高，
1、三角形ABC，角A=60°，∠B、∠C的角平分线BE与CD交与点O求:OE=OD.2、已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AE⊥BD于E， ∠ADB＝∠CDF,延长AE交BC于F，3.已知三角形ABC中，AD为BC边的中线，E为AC上一点
全等三角形难题(含答案)
下面是 无 为大家带来的初二年级奥数全等三角形测试题及答案，欢迎大家阅读。一.填空题(每小题5分,共40分)1. 已知ΔABC≌ΔDEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67°，BC =15cm，则∠F= °，FE =
17．如图，在 ABC中，∠ABC=45°，AD,BE是 ABC的高，AD,BE相交于点F.求证：BF=AC．18．⑴已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD=AB+AC ⑵对于
正常来说,验证两个全等三角形一般用边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、和直角三角形的斜边,直角边(HL)来判定。下面是 为大家带来的八年级奥数全等三角形测试题及答案,欢迎大家阅读。 一、选择题: 1.△
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCB＝50°，∠EBC＝60°，求∠DEB的度数。答案：证明:作∠HCD=10°，交DE于G,交BE于F，连接DF ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠A=20°,∴∠ABC=∠
1.求证：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 2.ABC是等边三角形，点D,E,F分别是线段AB.BC.CA上的点，若DEF是等边三 角形 问 AD=BE=CF是否成立？并说明理由。3.△ABC中，AC=BC,∠ABC=90°，D是
分析1 从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等,但是这两个三角形中有其他相等元素:AM=MC.若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素,形成全等三角形,这是理想不过的事.由于∠C=45°,∠A=
如图,已知△ABC和△DEC都是等边三角形,∠ACB=∠DCE=60°,B、C、E在同一直线上,连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点,CD‖BE,且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点,AE=BF,又AC
初二全等三角形证明题含答案,高难度
（设CE与AB的交点为P，则∠BPE＝∠1，∠DPA＝∠2，∠ABF＝∠3） 解：∵AD⊥AB,BE⊥DC,AF⊥AC ∴∠D＋∠2＝∠1＋∠3＝90°＝∠DAB＝∠CAF ∵∠2＝∠1 ∴∠D＝∠3 ∵∠DAB＝∠CAF且∠CAB＝∠CAB ∴∠DAC＝∠BAF ∵∠D＝∠3，AD=AB，∠DAC＝∠BAF ∴△DAC≌△BAF ∴AC＝AF ∵AC＝AF且∠CAF＝90° ∴∠ACF＝45° ∵∠ACB=90° ∴∠ACF＝∠BCF＝45° ∴CF平分∠ACB 呵呵~这可是我自己想的哦，多给我点分咯！I am very 认真滴！这个很简单，只要证明直角三角形 BAD 全等 ACE 就可以了 AE垂直 BD，所以 角 EAC=角 DBA (为什么？因为角EAC+角BAE=90度，而角 BAE+角DBA=90度，所以 角 EAC=角 DBA ） 然后因为CE平行 AB，所以角ACE=90度 看三角形 BAD和ACE 角 EAC=角 DBA 角 BAD=角 ACE=90 又因为 AB=AC 所以两个直角三角形全等 所以AD=CE 又因为BD是中线，所以 AC=2AD 所以 AB=2CE
如果一个三角形两个角的角平分线相等,试证明这个三角形为等腰三角形. 设三角形为ABC，CD、BE分别是角平分线，证明：ABC是等腰三角形？ 证明： 作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC ∵BE=DC ∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF 设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β ∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); ∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CEF ∵2α+2β<180°,∴α+β<90° ∴∠FBC=∠CEF>90° ∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上. 设垂足分别为G、H; ∠HEF=∠CBG; ∵BC=EF, ∴Rt△CGB≌Rt△FHE ∴CG=FH,BC=HE 连接CF ∵CF=FC,FH=CG ∴Rt△CGF≌△FHC ∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD ∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC 已知三角形ABC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，AD、BE交于点F，且AE=EF，请问BF=AC吗？ 因为：延长AD并过B点作AC的平行线，相交于G点 所以：则AC//BG,AE=EF, 可得BF=BG 因为：在三角形BDG和三角形CDA中 所以：BD=CD,
如图，Rt△ABC中，∠C= , ∠ABC= ，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 ________
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1、三角形ABC，角A=60°，∠B、∠C的角平分线BE与CD交与点O求:OE=OD. 在BC上取点G，使得BD=BG 因为∠A=60° 所以∠BOC=120° 因为∠DOB=∠EOC(对顶角) 所以∠DOB=∠EOC=60°(360-120)/2 尤SAS得△DBO≌△BOG 所以DO=G0 ∠DOB=∠GOB=60° 所以∠GOC=∠BOG=60° 再由ASA得△OGC≌△OEC 所以OG=OE 因为OD=OG 所以OE=OD 2、已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AE⊥BD于E， ∠ADB＝∠CDF,延长AE交BC于F，求证:D为AC的中点 作D关于BC的对称点G连接FG、CG 由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF 而角B=角C=45° 所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG 所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180° 所以A、F、G共线 又因为角CAG=角ABD 角ACG=2*45°=90°=角BAD 所以三角形BAD全等于三角形ACG 所以CG=AD 又CG=DC 所以AD=DC 3.已知三角形ABC中，AD为BC边的中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，若AE=EF，求证：AC=BF 延长AD到M使DM＝AD，连BM，CM ∵AD=DM,BD=CD ∴ABMC为平行四边形（对角线互相平分） ∴AC‖BM,AC=BM（等于那个最后再用到） ∴∠DAC=∠DMB(∠DAC即∠EAF,∠DMB即∠BMF下面用到)（内错角相等）……① 在三角形AEF中， ∵AE＝EF ∴∠EAF=∠EFA （等腰三角形）……② 又∵∠EFA=∠BFM（对顶角相等）……③ 由①②③，得∠EAF=∠EFA=∠BFM=∠BMF 在三角形BFM中， ∵∠BFM=∠BMF ∴三角形BFM为等腰三角形，边BF＝BM 由前面证得的AC=BM，得AC＝BF 4.已知三角形ABC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，AD、BE交于点F，且AE=EF，请问BF=AC吗？ 延长AD并过B点作AC的平行线，相交于G点 则AC//BG,AE=EF, 可得BF=BG 在三角形BDG和三角形CDA中 BD=CD,
如图，AC⊥CD，BD⊥CD。AD=BC,求证EC=ED 解：∵AC⊥CD（已知） ∴∠ACD=90°（垂直定义） ∴△ACD为直角三角形（直角三角形定义） 又∵BD⊥CD（已知） ∴∠BDC=90°（垂直定义） ∴△BDC为直角三角形（直角三角形定义） 又∵在Rt△ACD与Rt△BDC中 CD=DC(公共边) AD=BC（已知） ∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL） ∴∠ADC=∠BCD（全等三角形的对应角相等） 即：∠EDC=∠ECD ∴△EDC与△ECD为等腰三角形（两个腰角相等的三角形为等腰三角形） ∴EC=ED（等腰三角形的腰长相等）
数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。 一个工程队要做甲乙两项工程。甲的工作量是乙的2倍。前半个月整个队都在做甲，后半个月有一半的人做甲一半的人做乙。一个月后甲工程完成，乙余下的工作量要1人做一个月。求该工程队有多少人？ {[2/(1+2)] /[1 - 2/(1+2)] /(1/2)}/(1/2) = 8人 已知C地为A，B两地的中点．上午8点甲从A出发向B行进，同时，乙和丙分别从B和C出发向A行进．甲和丙相遇时乙恰好走到C地，上午10点当乙走到A地时，甲距离B地还有20千米，上午11点丙到达A地. 那么A和B两地距离是（ ）千米． 上午10点当乙走到A地，说明全程乙用10-8=2小时； 上午11点丙到达A地.，说明全程丙用2*（11-8）=6小时； 甲和丙相遇时乙恰好走到C地，说明甲和丙相遇时用2/2=1小时；此时，丙走全程的1/6，,甲走全程的1/2 - 1/6 = 1/3，全程甲用3小时； 上午10点当乙走到A地时，甲距离B地还有20千米，说明甲速度：20/[3-(10-8)] = 20千米/小时； 故：A和B两地距离是（20*3=60）千米 24*43分之51+51*43分之19 =51*43分之24+51*43分之19 =51*(43分之24+43分之19) =51*1 =51 体育课上，王老师要同学们按1——2报数，再按1——3报数，最后按1——7报数。他问排在最后的小明：“三次报数，你每次报的是几？”小明说：“我每次报的都是2。”王老师说：“我知道了，你们班今天缺席1人。”这个班一共有（ ）名学生 2*3*7+2+1 = 45 甲乙两人相对而行，第一次相遇甲离出发点40米，第二次相遇乙离出发点20米，问甲乙两地相距多少米? 40+ [40+ (40*2-20*2)/2)] = 100米 甲乙两地相距100米 五年级同学参加文艺小组的有48人,比参加科技小组人数的3倍多6人。参加科技小组的有几人？ ( 48-6)/3=14 一列货车从甲到乙需要8小时，客车从乙到甲需要六小时，当货车从甲出发两小时后，客车从乙开往甲，两车相遇中点30千米，求甲乙两地距离？ 一列货车从甲到乙需要8小时，即：货车到达中点需要4小时， 此时客车走4-2=2小时，而客车从乙到甲需要六小时，故客车未到中点； 故有：30/{1/2 - 1/6 *[(1 - 1/8 *2)/(1/8 + 1/6)]} = 420千米 甲乙两地距离420千米 一艘轮船从甲港到乙港顺流航行要8小时，返回时每小时比顺水少行了9千米，已知甲、乙两港相距216千米。则：1、返回时比去时多行几小时？2、水流的速度是每小时多少千米？ 1、返回时比去时多行4小时 9*8 /(216/8 -9)=4 2、水流的速度是每小时4.5千米 9/2=4.5 用一个数去除60,45和80,正好都能整除,这个数最大是多少? 60=2*2*3*5 45=3*3*5 80=2*2*2*2*5 可见最大公约数5， 故：用一个数去除60,45和80,正好都能整除,这个数最大是5。 甲乙两人加工零件,8小时共做224个,甲每小时做的比乙多做2个，乙每小时做多少个？ (224-2*8)/(2*8) = 13 乙每小时做13个 一堆梨,三个三个数余一个,四个四个数余三个,五个五个数缺一个,这堆梨至少几个 四个四个数余三个,五个五个数缺一个,说明：加1个就是4的倍数也是5的倍数，所以个位数字9； 三个三个数余一个，说明：减1个就是3的倍数,9-1=8，当十位数字1时，18是3的倍数且最小，故：这堆梨至少19个. 在一个除法算式里，被除数(不为零)除数与商这三个数的积除以被除数，得数是（ ）被除数 一段路,修了全部的五分之四,是40千米,还有多少没有修 40/(4/5) -40 = 10千米 还有10千米没有修 三种布平均每尺0.45元,甲种比丙种每尺贵8分,乙种每尺比丙种贵4分,求各种布每尺多少元? 丙种( 0.45*3-0.08-0.04)/3=0.41元 甲种0.41+0.08=0.49元 乙种0.41+0.04=0.45元 ①甲乙两数的积是甲的4/7,是乙的3/5,那么甲乙两数的积是多少 ②一杯牛奶喝去20%，加满水搅匀，又喝去50%杯中的纯牛奶占杯中容积的百分之几？ ③客车和货车从甲乙两地中点相反而行，5时客车到达甲地，货车离乙地还有60km，已知货车和客车5:7，求甲乙两地相距多少。 ④一项工作，甲乙两人合作，36天完成，乙丙两人合作，45天完成。现在甲乙丙三人合作15天后，剩下的工程再由乙独做30天完成。乙单独完成这项工作要多少天 ①4/7 * 3/5 =12/35 ②1-20%=80% ③60/(7-5) *(7+7) = 420km ④1/{[1 - (1/36 + 1/45 )*15] /(15+30 -15*2)} = 60天 甲乙两人同时从相距1340米的各自家中出发相向而行,甲骑自行车,每分钟行250米,乙步行,每分钟90米,3分钟后，乙返回家中取忘带的书，在经过几分钟，甲追上乙？这时乙离家多少米 [1340-(250+90)*3]/(250-90) = 2分钟 90*{3-[1340-(250+90)*3]/(250-90)} = 90米 再经过2分钟，甲追上乙，这时乙离家90米 小芳家的电话号码是七位数，并且是2、3、5的倍数。已知前三位数字是326，后四位数字与326组成符合要求的最小的数。你能算出小芳家的电话号码是多少？ 是2、3、5的倍数，尾数0； 3+2+6=11，再加1就是3的倍数， 故后四位数字与326组成符合要求的最小的数说3260010. 两地相距280千米，一艘轮船在其间航行.顺流用了14小时，逆流用了20小时.求这艘轮船在静水中的速度和水流 一元一次方程法： 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度280/14 -x千米/小时，有： 20[x-(280/14 -x)]=280 解得：x=17，280/14 -x=3 二元一次方程法： 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 代数式法： 静水中的速度：（280/14 + 280/20）/2 = 17千米/小时， 水流速度：（280/14 - 280/20）/2 = 3千米/小时， 说明：280/14 为 顺流速度=船速+水流速度.....① 280/20为 逆流速度=船速- 水流速度.....② ①+②=2倍 船速 ①-②=2倍 水流速度 祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)
八年级上册 《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册包括一次函数，数据的描述，全等三角形，轴对称，整式五章内容，学习内容涉及到了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）的四个领域：“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”。 供义务教育八年级上学期使用，全书需约62课时，具体分配如下： 第11章 一次函数 约15课时 第12章 数据的描述 约12课时 第13章 全等三角形 约10课时 第14章 轴对称 约12课时 第15章 整式 约13课时 一、内容安排 我们生活在变化的世界中，时间推移、人口增长、财富积累，都是变化的例子。函数就是描述这些变化的一种数学工具。通过分析实际问题中的变量关系，就得到了实际问题的一种新的数学模型，并能利用它解决非常广泛的问题。对于函数的内容，本套教科书是分散安排的，本册安排一次函数一章，八年级下册安排反比例函数，九年级下册安排二次函数、锐角三角函数。这样安排可以使学生不断加深对函数思想的理解。在本册“一次函数”一章，首先让学生探索具体问题中的数量关系和变化规律，了解常量，变量的意义，了解函数的概念和三种表示方法。在此基础上，再来学习一次函数的内容。在“一次函数”一章，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。由此可以看出本章在全套教科书中承上启下的作用。 在七年级上册，学生已经学过“数据的收集和整理”，对收集来的数据如何加以描述，就是需要学生在本册继续学习的内容。在“数据的描述”一章，首先让学生认识几种常见的统计图，包括条形图，扇形图，折线图，直方图，然后使他们学会用统计图更直观、更清楚地描述数据，最后安排课题学习，进一步让学生体会用统计图描述数据的作用。 “全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。 “轴对称”一章首先让学生认识轴对称，探索它的性质。然后让学生能够按要求作出简单图形经过轴对称后的图形，从而能利用轴对称进行图案设计。在此基础上，学习等腰三角形的有关概念和性质。这样，学生就可以从轴对称的角度把握等腰三角形的有关内容。 学生已经知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系。对整式的进一步讨论，将使学生能够解决更多与数量关系有关的问题，加深对“从数到式”这个由具体到抽象的过程的认识。在这一章，首先让学生了解整式的概念，然后让学生学会简单的整式加减乘除运算。在此基础上，让学生了解因式分解的概念，会用提公因式法，公式法分解因式。这些内容为以后内容，特别是下一章分式的学习作好了准备。 二、编写特点 （一）加强与实际的联系 1．从实际出发引入有关内容 在“一次函数”一章，教科书通过匀速行驶的汽车的行驶里程随时间的变化而变化，电影院的票房收入随售出票数的变化而变化，弹簧的长度随悬挂重物的质量的变化而变化等实例引入变量、常量以及函数的概念。用列表法、图象法表示函数也是结合中国人口统计表、心电图说明的。正比例函数、一次函数则分别由燕鸥飞行、气温变化等问题引入。这样安排的目的是使学生通过简单实例了解变量、常量的意义，结合实例了解函数的概念和三种表示方法，结合具体情境体会一次函数的意义。 统计中常见的条形图，扇形图，折线图和直方图各有特点，它们可以清楚，有效地表述数据。在“在数据的描述”一章，这些统计图都是结合实际问题说明的：从空气质量问题引入条形图与扇形图，从国内生产总值问题引入折线图，从测脉搏问题引入直方图。这样就使学生认识到统计与现实生活联系紧密。 在“全等三角形”一章，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。 从自然景观到微型模型，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的例子，在“轴对称”一章，教科书从实际出发引入轴对称、轴对称变换，使学生具体感受。又如，从海上救生问题引入“等角对等边”的结论。再如，借助将两个含30°角的三角尺摆放在一起的图形，找到直角三角形中30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系。 一些简单问题的数量关系可以用整式表示，因而在“整式”一章，单项式、多项式的概念是结合实际例子引入的。整式的运算也是类似处理的，例如，由计算机处理运算问题引入同底数幂的乘法，由连锁店销售收入的计算问题引出单项式与多项式的乘法，由计算机存储问题引入同底数幂的除法，由木星的质量与地球质量的比较引入单项式的除法等等。 总之，本册教科书各章都关注从具体的问题情境中抽象出数学问题，以有利于学生理解相关的数学内容。 2．运用有关内容解决实际问题 在“一次函数”一章，让学生用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，例如，运用函数分析耗油量与行驶里程的关系，水位随时间的变化，以及运费、上网费。在这一章，还注重从图象分析有关信息，例如，教科书第11页的观察以及第12页的例2。 在“在数据的描述”一章，用统计图对实际问题加以描述，例如，用扇形图表示各种受教育人口在总人口中所占的百分比，利用与直方图有关的图、表解决根据身高挑选参赛选手的问题。这一章还专设课题学习，从数据谈论节水问题，为学生提供利用图表描述数据的实践机会。 在“全等三角形”一章， 用三角形全等说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。 在“轴对称”一章，则在学完轴对称的有关知识以后，让学生利用轴对称设计图案。在这一章，还运用特殊三角形的性质解决实际问题，例如，用等腰三角形解决求绳长问题，用等边三角形解决测量中的问题。 在“整式”一章，则让学生用整式运算解决纸盒用料等实际问题。 总之，各章都注重让学生运用所学知识解决实际问题，加深对所学内容的理解。 （二）留给学生思考、探索的空间 本册内容与七年级两册相比有所加深，各章都注重让学生经历探索知识的过程。 在“一次函数”一章，先让学生思考反映不同事物变化过程的一些问题，再给出变量，常量的概念。不仅让学生通过式子体会变量之间的联系，而且让学生观察中国人口统计表、心电图认识这种联系，再给出函数的概念。对于函数的三种表示方法的比较，教科书没有直接给出，而是提出一个问题，让学生结合例子自己思考。而一次函数的概念和性质则分别通过列出一些函数的解析式，画出一些一次函数的图象归纳得出。 在“数据的描述”一章，相关的内容都是围绕统计问题展开的，例如，分别围绕空气质量问题，国内生产总值问题，测脉搏问题让学生认识条形图与扇形图，折线图，直方图，围绕表示各种受教育人口在总人口中所占的百分比的问题，让学生探究扇形图的画法等等。这样在问题的提出、解决的过程中，师生共同思考，体会和掌握用统计图描述数据的方法。 编写“全等三角形”一章时，在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想。首先让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等。然后让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等，并按如下的顺序展开： （1）三边对应相等； （2）两边及其夹角对应相等； （3）两边及其中一边所对的角对应相等； （4）两角和它们的夹边对应相等； （5）两角和其中一个角的对边对应相等； （6）三个角对应相等。 总的发展脉络是三边，两边一角（包括（2），（3）两种情况），一边两角（包括（4），（5）两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。这样的处理也与先给出可判定全等的情况，再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。最后让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。 在“轴对称”一章，与轴对称有关的性质是让学生通过观察、探究得到的。对于关于坐标轴对称的点的坐标的关系，教科书是通过让学生画出一些已知点及其对称点，确定对称点的坐标，比较每对对称点的坐标得到的。 对于等腰三角形的性质，则是让学生把等腰三角形适当对折，找出其中重合的线段和角，自己去发现有关的结论。 在“整式”一章，同底数幂的乘法都是通过一些具体计算进而发现规律的。教科书让学生将多项式的乘法法则运用到某些特殊形式的多项式相乘，自己发现规律。反过来，让学生利用乘法公式分解某些特殊形式的多项式，又可以得出分解因式的公式法。 总之，教科书的各章都力图讲清知识的来龙去脉，将知识的形成和应用过程呈现给学生。 （三）加强知识间的联系 在“一次函数”一章，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。这样就可以让学生发现一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的联系，用函数的观点把互相联系的方程（组）、不等式、函数统一起来。 在“数据的描述”一章，统计图也是数与形联系的例子。这样，对于收集到的数据加以整理，并用统计图表示出来，就可以使我们直观地了解数据的分布特征和规律，帮助我们从数据中获得信息，得出结论。 在“全等三角形”一章，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。 在“轴对称”一章，图形的变换与图形的认识相结合，书先安排轴对称的内容，再安排等腰三角形的内容。这样就可以从变换的角度认识等腰三角形，从而加强两者之间的联系。另外，在本章中安排“用坐标表示轴对称”的内容，也是为了数形结合，加强知识之间的联系。 在“整式”一章，将整式的乘法与因式分解安排在同一章，也是加强它们之间的联系。另外，让学生用面积说明乘法公式，可以使学生从数与形的角度把握有关内容，例如，从图形的角度，学生很容易避免的错误。 （四）培养推理能力 在“全等三角形”一章，正式出现证明及证明的格式。七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。 1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。特别是在第十三章里，通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。 2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。例如，在“全等三角形”一章，让学生会证明两个三角形全等，通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等，从而熟悉证明的步骤和方法。在第十四章与等腰三角形有关的内容中，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。 3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。 4．在与“数与代数”有关的章节安排证明的内容。例如，在“整式”一章，让学生发现一些规律并加以证明（习题15．5第10题及第2个数学活动），或直接让学生证明一些结论（复习题15第13题）。 三、几个值得关注的问题 （一）关注学生的情感态度 在本书的教学中，注意培养学生学习的兴趣与良好的个性品质。本书中数形结合的内容较多，如函数和它的图象、数据与统计图、对称点与它的坐标等，要利用这些内容的特点，引发学生学习的兴趣。要通过循序渐进的教学，使学生掌握基础知识，基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，充分的学习信心，实事求是的科学态度，独立思考，勇于探索创造的精神。 本书内容蕴含了数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点，蕴含了运动变化，相互联系，相互转化等观点。如由于实际的需要产生了函数，并使函数的理论丰富和发展，同时这些理论又用于解决实际问题。而函数、轴对称等内容则生动地反映了运动变化、相互联系、相互转化的观点。教学中，要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育，使学生形成科学的世界观。 （二）加强信息技术的应用 随着知识内容的展开，用信息技术处理相关内容的作用也越来越明显。本册中，可从以下三个方面关注信息技术的应用。 1．用计算机画函数图象 画出函数的图象可以直观地反映变量之间的关系，也便于由图象研究函数的性质（单调性、极值、奇偶性、函数的零点）。与手工计算、描点绘制函数图象相比，利用某些计算机软件可以方便地得到函数图象：只要输入函数的解析式，计算机就会自动生成函数的图象。这样学生就可以通过函数图象了解更多的函数。 2．利用计算机画统计图 利用计算机软件可以画出条形图、扇形图、折线图和直方图等统计图。利用计算机画统计图不仅快捷方便，而且画出的统计图标准、美观。这样，可以调动学生学习的兴趣，使他们乐于尝试，提高他们的设计、动手能力。 3．探索轴对称的性质 利用计算机软件可以方便地画出一个图形的轴对称图形，由此可以观察对称点所连线段与对称轴的关系，使轴对称图形或对称轴的位置发生变化，观察结论是否仍然成立。类似地，可以探索对称点的坐标的特点，线段垂直平分线的性质。另一方面，利用计算机可以进行图案设计。 总之，运用信息技术可以丰富学生学习的内容，在条件许可的情况下，可以开展这方面的研究，提高教学效率。 Ⅱ. 八年级下册 《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册包括5章，约需61课时，供八年级下学期使用。具体内容如下： 第16章 分式 约13课时 第17章 反比例函数 约8课时 第18章 勾股定理 约8课时 第19章 四边形 约17课时 第20章 数据的分析 约15课时 书的5章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容。其中对于“实践与综合应用”领域的内容，教材在第19章和第20章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了2～3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“实践与综合应用”的要求。这5章大体上采用相近内容相对集中的方式安排，前两章基本属于“数与代数”领域，随后的两章基本属于“空间与图形”领域，最后一章是“统计与概率”领域，这样安排有助于加强知识间的纵向联系。在各章具体内容的编写中，又特别注意加强各领域之间的横向联系。 一、内容分析 第16章 分式 本章主要研究分式及其基本性质，分式的加、减、乘、除运算，分式方程等内容。这些内容分为三节安排。 第16.1节类比着分数的概念给出了分式的概念，类比着分数的基本性质探讨了分式的基本性质，类比着分数的约分、通分介绍了分式的通分、约分等，这些内容为后面两节的学习打下理论基础。第16．2节讨论分式的四则运算法则，教科书从实际问题出发，首先研究了分式的乘除运算，类比着分数的乘除，探讨了分式的乘除运算法则；接下去，教科书也是从实际问题出发，采用与分数加减相类比的方法，研究了分式的加减运算，得出了运算法则，并学习分式的四则混合运算；最后，教科书结合分式的运算，研究了整数指数幂的问题，将正整数指数幂的运算性质推广到整数范围，并完善了科学记数法。本节内容是全章的重点，其中分式的混合运算也是全章的一个难点。第16．3节讨论分式方程的概念和解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。教科书从实际问题出发，分析问题中的数量关系，列出分式方程，由此引出分式方程的概念，接下去研究分式方程的解法，教科书采用与学生已有经验相联系的方式，探讨了如何将分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解的问题。解分式方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须验根的情况，这是以前学习的方程中没有遇到的问题，教科书结合具体例子，对分式方程为什么需要验根进行了解释。分式方程提供了一种解决实际问题的数学模型，它具有整式方程不可替代的特殊作用，根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点。 第17章 反比例函数 本章的主要内容包括反比例函数的概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等。本章是继八（上）“第11章 一次函数”后的又一章函数的内容。全章分为两节：第17.1节反比例函数，第17.2节实际问题与反比例函数，全章内容紧紧围绕着实际问题展开，实际问题是贯穿全章的一条主线。 第17.1节主要研究反比例函数的概念、图象和性质。本节中，教科书首先从几个学生熟悉的实际问题出发，分析实际问题中变量间的对应关系，列出反比例函数的解析式，从而引进反比例函数的概念，使学生对反比例函数的认识经历一个由感性到理性的过程；接下去，教科书利用描点法画出了函数和的图象，通过探究两个函数图象共同特征，给出了反比例函数的图象属于双曲线的事实，并进一步得到函数和的图象关于x轴和y轴对称的结论，接下去，教科书又让学生利用这个结论画出函数和的图象，并进一步通过分析画出的这四个函数的图象，得到反比例函数的性质。第17.2节的内容是利用反比例函数分析、解决实际问题。本节中，教科书以例题的方式，给出了四个实际问题，这四个问题基本上是按照数量关系由简单到复杂的顺序安排的（依次是圆柱的底面积与高，做工时间与做工速度，动力是动力臂，输出功率与电阻），它们从不同的方面体现了反比例函数是解决实际问题有效的数学模型。 第18章 勾股定理 本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。全章分为两节，第18.1节是勾股定理，第18.2节是勾股定理的逆定理。 在18.1节中，教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。第18.2节是研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 第19章 四边形 本章主要研究一些特殊四边形的概念、性质和判定方法。对于特殊的四边形，教科书按照对边之间的平行关系把它们分成两类：两组对边分别平行的四边形——平行四边形，一组对边平行、另一组对边不平行的四边形——梯形。对于平行四边形，除了研究一般的平行四边形外，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。 第19.1节主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定。教科书从实际生活中的图形出发，抽象概括出平行四边形的概念，通过一系列的探究活动，得出平行四边形的性质和判定方法，并对所得结论进行适当的推理证明；作为判定方法的一个应用，教科书通过一个例题得出了三角形中位线定理。第19.2节主要研究矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，本节是在前一节的基础上，进一步研究这几种特殊的平行四边形。教科书首先研究了矩形和菱形，它们都是有一个特殊条件的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的特殊的平行四边形。在此基础上，教科书研究了同时具有两个特殊条件的平行四边形，即正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，又是有一组邻边相等的特殊矩形。第19.3节研究梯形，梯形是与平行四边形并列的另一种特殊四边形，它有一组对边平行，另一组对边不平行，本节重点研究了一种特殊的梯形——等腰梯形，探究得出等腰梯形的性质和判定方法。教科书在最后一节，即第19.4节安排了一个课题学习：重心。通过寻找几何图形的重心的活动，了解规则的几何图形的重心就是它的几何中心，体会数学与物理学科之间的联系。 第20章 数据的分析 本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义。全章分为三节。 第20.1节是研究代表数据集中趋势的统计量：平均数、中位数和众数。本节中，教科书首先给出一个实际问题，通过分析解决这个实际问题，引进加权平均数的概念。为了突出“权”的作用和意义，教科书通过两个例题，从不同方面体现“权”的作用。接下去，教科书对加权平均数进行扩展，包括如何将算数平均数与加权平均数统一起来，如何求区间分组的数据的加权平均数，如何利用计算器的统计功能求平均数，如何利用样本平均数估计总体平均数的问题等。对于中位数和众数，教科书通过几个具体实例，研究了它们的统计意义。在本节最后，教科书通过一个具体实例，研究了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，并对这三种统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。第20.2节是研究刻画数据波动程度的统计量：极差和方差。教科书首先利用温差的例子研究了极差的统计意义。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究。首先通过一个实际问题提出对两组数据的波动情况的研究，并画出散点图直观地反映数据的波动情况，在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的。随后，又介绍了利用计算器的统计功能求方差的方法。本节最后，教科书利用所学知识解决本章前言中提出的问题，并研究了用样本方差估计总体方差的问题。教科书在最后一节安排了一个具有一定综合性和实践性的“课题学习”。这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作，教科书根据《中学生体质健康登记表》提供了一个样例。 二、编写特点 1．加强与实际的联系，体现知识的形成和应用 密切联系实际，反映知识的来龙去脉，体现知识的形成和应用过程，是本套教科书的一个特点，也是书的一个主要特点。本书各章内容编写时，对于概念的引入，知识的形成等均注意从实际问题出发，体现数学来源于实际，同时又注意将所得数学结论运用于实际，通过解决实际问题，体现数学服务于实际。例如，在“分式”一章中，对于分式概念的引入，教科书安排了几个实际问题，通过分析实际问题中的数量关系，列出分式，从而引出分式的概念，体现分式的概念是由于客观实际的需求而产生的；在讨论分式方程时，更是结合实际问题，体现分式方程是解决实际问题的数学模型。在“反比例函数”一章中，反比例函数的概念是通过几个实际问题抽象出来的，本章还专门安排了一节“实际问题与反比例函数函数”，突出了反比例函数是研究实际问题的数学
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