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《圆的对称性》是义务教育课程标准实验教科书六年级上册第四单元第59页的内容。它是在学生已经认识了长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形等平面图形和初步认识轴对称图形和对称轴基础上进行学习的。圆的性质：圆是轴对称

平移旋转轴对称是三年级学的。1、结合实例，感知对称、平移和旋转现象。2、能在方格纸上画出简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。3、结合图案的欣赏与设计的过程，体会平移、旋转和轴对称等在设计图案中的作用，发挥

轴对称图形是在小学三、四年级的内容中进行教授和学习的。轴对称图形是指在某条直线上对称的图形，这条直线被称为对称轴。轴对称性质是一种几何特征，具有轴对称性的图形在对称轴两侧的部分完全相同或镜像对称。学习轴对称

轴对称 对折:两边完全重合——轴对称图形 折痕——对称轴篇二 教材简析: 本课的教学对象是小学三年级的学生,在此之前学生已经学过一些平面图形的特征,形成了一定的空间观念,自然界和生活中具有轴对称性质的事物很多,也为学生奠定了感性

本课的教学对象是小学三年级的学生,在此之前学生已经学过一些平面图形的特征,形成了一定的空间观念,自然界和生活中具有轴对称性质的事物很多,也为学生奠定了感性基础。他们的思维特点是以具体形象思维为主,同时具有初步的抽象思维能力,对于

人教版小学二年级下册对称图第三单元的内容。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对，称图形.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段

《轴对称图形》是北师大版三年级下册第二章的内容。是在一年级认识简单的图形的基础上学习的,并为五年级下册轴对称图形的在认识做准备,起着承上启下的作用。本节课对于学生建立空间观念,培养空间想象能力起着重要作用。同时,对称现象在

轴对称是几年级第几单元的内容在此之前学习了什么,起到了铺垫作用

小学三年级数学教案：对称现象—233小学。既然现象是指由多种元素构成的事物（物体）所表现出来的外部特征，因而教学中不能仅仅停留在平面图形（也既单个的长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形、圆）这个小的范畴中，

生3:对称就是左右两边是完全一样的。 3、教学板书“对称” (1)课题导入 师:是啊,刚才我们看到的其实是生活中的轴对称图形的现象。今天老师和大家一起来研究数学上的轴对称图形。(板书课题) 刘元平三下《轴对称图形》教学设计 刘元平

新课标小学数学《对称》教学实录与反思 一、教学实录 教学内容:人教版义务教育课程标准实验教科书数学二年级上册 教材简析:对称是一种最基本的图形变换。在自然界和日常生活中具有对称性质的事物很多,学生对于对称现象并不很陌生。本节课

我今天说课的内容是苏教版小学数学义务教育课程标准实验稿四年级（下册）第八单元。一、说教材 首先，来说说我对教材的理解，本单元是在三年级初步学习了轴对称的基础上继续教学轴对称图形，采用对折等方法确定轴对称图形的对

小学三年级数学《轴对称图形》课件篇一 教材简析: 本课的教学对象是小学三年级的学生,在此之前学生已经学过一些平面图形的特征,形成了一定的空间观念,自然界和生活中具有轴对称性质的事物很多,也为学生奠定了感性基础。他们的思维特点是

这节课内容主要是结合生活情境和现实题材,从实践到理论,再用实践检验理论,层次分明,循序渐进地指导学生认识自然界和日常生活中具有对称现象的事物,让学生初步感知对称现象的基本特征,激发学生的学习兴趣,为后面的轴对称图形做好准备。 3、

小学三年级数学下册课件《对称现象》

1、人教版教材比西师版更系统，学习的内容更丰富，增加了“找规律”这一单元。2、人教版教材在计算教学中专门安排了“用数学”的课时，有助于学生解决问题能力的培养。3、人教版教材比西师版更注重学生空间观念的培养，增加

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初中数学书有6本，七年级上下两册，八年级上下两册，九年级上下两册。七年级上下两册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形认识初步、相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程、不等式与不等式组、数据

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谁有初中数学的教材内容?就只要各章节的题目!西师版的

四年级下册数学《轴对称》教案(二) 　 　教学目标 一、知识与技能：进一步认识图形的对称轴，并能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。二、过程与方法：通过观察，确定对称点的位置，探索图形成轴对称的特征和性质，三

八年级数学成轴对称的图形的性质知识点 篇1 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段

二年级轴对称是第三单元的。教学目标：1、了解形形色色的对称现象。2、识别轴对称现象。3、理解轴对称图形的性质，会利用性质解题。其他 学生分析：学生已学过简单平面图形，对平面图形已有一定的认识，且初步了解研究平面图形

轴对称图形是在小学三、四年级的内容中进行教授和学习的。轴对称图形是指在某条直线上对称的图形，这条直线被称为对称轴。轴对称性质是一种几何特征，具有轴对称性的图形在对称轴两侧的部分完全相同或镜像对称。学习轴对称图

轴对称图形的性质是几年级学的

轴对称 对折:两边完全重合——轴对称图形 折痕——对称轴篇二 教材简析: 本课的教学对象是小学三年级的学生,在此之前学生已经学过一些平面图形的特征,形成了一定的空间观念,自然界和生活中具有轴对称性质的事物很多,也为学生奠定了感性

《轴对称图形》是苏教版小学数学三年级下册第七单元的教学内容,本课是在学生认识简单的平面图形的基础上进行的,教材从学生熟悉的事物入手,通过形式多样的活动,让学生初步感知生活中的对称现象,进而认识简单的轴对称图形和对称轴,为学生今

轴对称图形的性质是四年级学的。轴对称图形，数学术语，定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴（axis of symmetric），并且对称轴用点画线表示，这时，我们也说这个图形

人教版小学数学二年级下册第29页例1及相关内容。教学目标：1、认识对称现象，初步理解对称轴和轴对称图形的含义，掌握判断一个图形是否是轴对称图形的方法。2、经历观察、操作、想象、交流等活动，感知现实世界中普遍存在的对称

人教版小学二年级下册对称图第三单元的内容。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对，称图形.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段

轴对称图形是二年级学到的。人教版二年级下册数学书上就有关于轴对称图形的介绍了。

轴对称图形是在小学三、四年级的内容中进行教授和学习的。轴对称图形是指在某条直线上对称的图形，这条直线被称为对称轴。轴对称性质是一种几何特征，具有轴对称性的图形在对称轴两侧的部分完全相同或镜像对称。学习轴对称图

2021轴对称图形小学几年级学的

4、没想到吧,就这么一张白纸,简单的一折,一撕,居然创造出了数学上的轴对称图形。其实轴对称图形离咱们并不遥远。 5、教学找长方形的对称轴 1) 这是一张长方形的纸,如果让你找出这个长方形纸的所有对称轴,你准备怎么办?(对折)你

【设计意图】：在课题引入过程中,充分利用学生已有的学习基础，唤起学生已有的轴对称图形、对称轴的生活经验，复习关于轴对称图形的知识，感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。（二）充分感知、探究新知。1.

四年级下册数学《轴对称》教案(一) 一、教学目标 (一)知识与技能 会画一个图形的轴对称图形，掌握画图的方法和步骤：先画出几个关键的对称点，再连线。二、过程与方法 通过观察、操作等活动，能在方格纸上补全一个轴

四年级下册数学轴对称教案篇1 教学目标: 1.了解数的产生,认识自然数。认识亿级的数和计数单位“十亿”“百亿”“千亿”,掌握整数数位顺序表,认识十进制计数法。 2.在经历数的产生过程中,感受“一一对应”的思想和“实践第一”的辩

四年级下册数学轴对称教案

　　作为一名教师，上课前的教案是必须准备的。下面是由我为大家整理的“四年级下册数学《轴对称》教案”，欢迎大家阅读，仅供大家参考，希望对您有所帮助。 　　四年级下册数学《轴对称》教案(一) 　　 一、教学目标 　　(一)知识与技能 　　会画一个图形的轴对称图形，掌握画图的方法和步骤：先画出几个关键的对称点，再连线。 　　 二、过程与方法 　　通过观察、操作等活动，能在方格纸上补全一个轴对称图形。 　　 三、情感态度和价值观 　　让学生在探索的过程中进一步增强动手操作能力，发展空间观念，培养审美观念和学习数学的兴趣。 　 　二、教学重难点 　　教学重点：掌握画图的方法和步骤。 　　教学难点：能在方格纸上画出轴对称图形的另一半。 　 　三、教学准备 　　方格纸、课件。 　 　四、教学过程 　　(一)复习导入 　　教师：同学们，我们昨天认识了轴对称图形，谁能说说它有什么特点？ 　　预设：对应点到对称轴的距离相等。 　　(二)探索新知 　　1、画出轴对称图形。 　　教师：根据对称轴，补全下面的轴对称图形。 　　教师：要想顺利的画出另外一半的图形，你有什么办法呢？根据是什么？ 　　(小组讨论，全班交流) 　　预设： 我们刚刚学习了轴对称图形的对称点的特点，可以利用这个方法来画。 　　教师：很好，怎样来找点呢，所有的点都找吗？ 　　预设：不用，只要数出关键点到对称轴的距离；在对称轴的另一侧点出关键点的对称点；顺次连接描出的各个点即可。 　　教师：谁能来展示一下你画出的轴对称图形的另一半？ 　　学生展示自己的作品。 　　2、探究结果汇报。 　　教师：同学们，今天我们学习了哪些知识？ 　　预设：在方格纸上画出轴对称图形的另一半时，先确定对称轴，找出关键点，数出关键点到对称轴的距离，然后点出关键点的对应点，最后依次连接各个对应点，就可以画出轴对称图形的另一半。 　　教师：你能简要概述一下上面画轴对称图形另一半时的步骤吗？ 　　学生：确定对称轴后，一找关键点；二数出距离；三点对应点；四连线。 　　【设计意图】引导学生思考：补全轴对称图形的方法是这节课的难点，在学生充分的讨论后，通过学生的实践来总结出方法，进行提炼，学生记忆的会更深刻。 　　四年级下册数学《轴对称》教案(二) 　 　教学目标 一、知识与技能： 　　进一步认识图形的对称轴，并能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 　 　二、过程与方法： 　　通过观察，确定对称点的位置，探索图形成轴对称的特征和性质， 　　 三、情感、态度、价值观： 　　让学生感受生活中轴对称的美感，知道大自然中，处处有数学。 　　教学重点 认识图形的对称轴，并能画出轴对称图形。 　　教学难点 确定对称点的位置 　　教学准备 多媒体课件 　　教学方法 观察法、讲解法，合作交流法、探究法。 　 　教学过程 师生互动 备注 　　一、创设情境 　　出示轴对称图片 　　师：这些图片好看吗？为什么好看？在我们生活中有许多因为对称而让人觉得美的物体，今天我们就一起来研究这些美丽的对称图形。(板书：轴对称图形) 　 　二、复习旧知 　　1、你还见过哪些轴对称图形？ 　　2、什么样的图形是轴对称图形？ 　　3、看书中图片，画出对称轴。 　　 三、探究新知 　　1、出示例1 看一看，数一数，你发现了什么？(引导学生观察) 　　(1)合作探究 　　①这幅图对称吗？ 　　②中间这一条直线表示什么？ 　　③点A和点A在这幅图中是两个对应点，它们到对称轴的距离都是( )个小格。 　　④点B和点( )是对应点，它们到对称轴的距离都是( )个小格。 　　⑤点C和点( )是对应点，它们到对称轴的距离都是( )个小格。 　　⑥我发现：在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离( )。 　　(2)汇报交流： 　　①在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴两侧的距离相等。 　　②我们可以用这个性质来判断一个图形是否是对称图形。或者画对称图形。 　　2、出示例2 　　(1)引导学生思考： 　　A、怎样画？先画什么？再画什么？ 　　B、每条线段都应该画多长？ 　　(2) 在思考的基础上，用铅笔试画。 　　(3)小结： 　　①找出所给图形的关键点。 　　②数出或量出图形关键点到对称轴的距离。 　　③在对称轴的另一侧找出关键点的对称点。 　　④按照所给图形，顺次连结各点，就画出所给图形的轴对称图形。 　 　四、课堂练习 　　P84做一做第2题 　 　五、课堂小结 　　这节课你有什么收获？ 　　1.在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴两侧的距离相等。 　　2.我们可以用这个性质来判断一个图形是否是对称图形。或者画对称图形。 　　板书设计 图形运动 (二) 轴对称(1) 　　方格纸上画已知图形的轴对称图形的方法： 　　1、找出所给图形的关键点。 　　2、数出或量出图形关键点到对称轴的距离。 　　3、在对称轴的另一侧找出关键点的对称点。 　　4、按照所给图形，顺次连结各点，就画出所给图形的轴对称图形。 　　教学反思 本节课先从具有轴对称特征的图形入手，认识轴对称图形，引导学生总结出轴对称图形的定义，然后通过作松树图形来找出轴对称图形的特点和性质，让学生自己亲身经历其过程，加深对轴对称图形的理解。
我初中时候，数学还挺好的，当然，我比较擅长理科方面，文科相对就不行了（题外话）。上初中那会，一到临近考试的时候，就有很多同学拿着数学课本来复习，背概念、读公式等等，其实那时候，考数学我是不复习的，为什么呢 ？因为数学只要学进去了，一些公式概念什么的，都是浮云，一句话，理解为王。所以说呢，后面给个建议：1、上课一定要认真（老生常谈），如果前面的课程没有学扎实的话，还要预习。一定要在课堂内把一些基础的知识点给弄清楚，学透。要学，就要学透，别弄个半生不熟的，似懂非懂，这样特别麻烦。2、多练习。想那时候，我们老师给我们搞个本子，上面写着“天天练”，练得多了，在公式概念的基础上，才能融会贯通。两点搞定，初中数学基本就不会成很大的问题。 现在学习落下来了，心态要放正，不急，慢慢来，把月考试卷（每次考试）拿来分析一下，看到底是什么原因，是粗心呢？还是知识点没有弄明白(也就是一些基本概念)?分析一下，弄个错题集是个不错的选择，把错误的东西搞懂，搞透，错是错在哪里，这样的话，错误慢慢变少，成绩慢慢也就回升回去了。不急不躁，心态放正，学习是个长期的过程（人生也是一样）。学习成绩下来了，也是人生的一个经历，在这个挫折中，站起来，也是人生中一个不错的辉煌！加油吧，小伙子！
高中数学学习方法谈 进入高中以后，往往有不少同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。但主要是由于学生不了解高中数学教学内容特点与自身学习方法有问题等因素所造成的。在此结合高中数学教学内容的特点，谈一下高中数学学习方法，供同学参考。 一、 高中数学与初中数学特点的变化 1、数学语言在抽象程度上突变 初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。 2、思维方法向理性层次跃迁 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。 3、知识内容的整体数量剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。 4、知识的独立性大 初中知识的系统性是较严谨的，给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了，它是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合，命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。 二、如何学好高中数学 1、养成良好的学习数学习惯。 建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法 学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。 解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。 3、逐步形成 “以我为主”的学习模式 数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。 4、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施 ² 记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中 拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 ² 建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再 犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 ² 熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化 或半自动化的熟练程度。 ² 经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化， 使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 ² 阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课 外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 ² 及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩 固，消灭前学后忘。 ² 学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解 题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 ² 经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学 思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 ² 无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而 不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。怎样学好数学 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必 的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以 略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。 有了学习数学的兴趣和积极性，要学好数学，还要注意学习方法并养成良好的学习习惯。 知识是能力的基础，要切实抓好基础知识的学习。数学基础知识学习包括概念学习，定理公式学习以及解题学习三个方面。学习数学概念，要善于抓住它的本质属性，也就是区别于这个概念和其他概念的属性；学习定理公式，要紧紧抓住定理方向的内在联系，抓住定理公式适用的范围及题型，做到得心应手地应用这些定理公式，数学解题实№上是在熟练掌握概念与定理公式的基础上解决矛盾，完成从“未知”向“已知”的转化。要著重学习各种转化方式，培养转化的能力。总而言之，在学习数学基础知识中，要注意把握知识的整体精髓， 悟其中的规律和实质，形成一个紧密联系的整体认识体系，以促进各种形式间的相互迁移和转化。同时，还要注意知识形成过程无处不隐含著人们在教学活动中解决问题的途径、手段和策略，无处不以数学思想、方法为指南，而这也是我们学习知识时最希望要学到的东西。 数学思想方法是知识、技能转化为能力的桥粱，是数学结构中强有力的支柱，在中学数学课本里渗透了函数的思想，方程的思想，数形结合的思想，逻辑划分的思想，等价转化的思想，类比归纳的思想，介绍了配方法、消元法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等，在学好数学知识的同时，要下大力气理解这些思想和方法的原理和依据，并通过大量的练习，掌握运用这些思想和方法解决数学问题的步骤和技巧。 在数学学习中，要特别重视运用数学知识解决实№问题能力的培养。数学社会化的趋势，使得“大众数学”的口号席卷整个世界，有人认为未来的工作岗位是为已作好数学准备的人才提供的，这里所说的“已作好了数学准备”并不仅指懂得了数学理论，更重要的是学会了数学思想，学会了将数学知识灵活运用于解决现实问题中。培养数学应用能力，首先要养成将实№问题数学化的习惯；其次，要掌握将实№问题数学化的一般方法，即建立数学模型的方法，同时，还要加强数学与其他学科的联系，除与传统学科如物理、化学联系外，可适当了解数学在经济学、管理学、工业等方面的应用。 如果我们在数学学习中，既扎扎实实地学好了数学知识和技能，又牢固地掌握了数学思想和方法，而且能灵活应用数学知识和技能解决实№问题，那么，我们就走在了一条数学学习成功的大道上。一．人人都能学好数学 数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的，这是不争的事实，但不等于说就是难学的。有位数学名人说过：“掌握数学，就是善于解题，但不完全在于解题的多少，还在于解题前的分析、探索和解题后的深思穷究。”也就是说，解数学题不是要把自己当成解题的机器、解题的奴隶，而应该努力成为解题的主人，是要从解题中吸取解题的方法、思想，锻炼自己的思维，这就是所谓的“数学题要考查考生的能力”。那么解题前后该如何“分析探索”与“深思穷究”呢？实际上，世间万事万物都是相通的，不知道同学们是否喜欢语文？要想写一篇优秀的作文，必须审题、创意，要有写作提纲，这种创意须是来源于自己的生活，是自己亲身经历、所感所想的，靠杜撰绝对写不出好文章。那么解决一道数学题，也必须审题，要弄清题目的已知是什么？待求的是什么？这叫“有的放矢”。“的”就是要打开“已知”与“待求”之间的通道，就是“创意”，就是要利用自己现有的数学知识、解题方法沟通这种联系，或将问题化整为零、或将问题化为比较熟悉的问题。这种“创意”是一种长期数学思维的积淀，是自己解题经验的总结，是解题之后的感悟。因此，解题之后的总结是最不容忽视的。记得从小学开始，语文老师总是要求我们在阅读一篇文章之后说出它的中心思想，目的何在？我们做完一道数学题，也要想着总结它的中心思想：题目涉及到哪些知识点；解题中用到哪些解题方法或思想，以此与命题人“沟通”，才能达到“领悟”的境界。当然，解题后的总结，还应该考虑：问题是否可以有其它解法；是否可以进行推广用来解决与之相似的问题。只有做到“举一反三”，才能真得会“触类旁通”。总之，做任何学问都不能贪大求全，而应精益求精。 二．注意改进学习习惯 1．知识掌握过程中的三种不良习惯 忽略理解，死记硬背：认为只要记住公式、定理就万事大吉，而忽略了知识导出过程的理解，既造成提取应用知识的困难，更一次又一次地失去了对知识推导过程中孕含的思想方法的吸取。如三角公式“常记常忘，屡记不会”的根本原因就在于此，进而也谈不上用三角变换解题的自觉性了。 注重结论，轻视过程：数学命题的特点是条件和结论之间紧密相联的因果关系，不注意条件的掌握，常会导致错误的结果，甚至是正确的结果、错误的过程。如学习中看不出何时需讨论、如何讨论。原因之一在于数学知识的前提条件模糊（如指对数函数的单调性，不等式的性质，等比数列求和公式，最值定理等知识） 忽略及时复习和强化理解：“温故而知新”这一浅显的道理谁都懂，但在学习过程中持之以恒地应用者不多。由于在老师的精心诱导教诲下，每节课的内容好像都“懂”，因此也就舍不得花八至十分钟的“宝贵”时间回顾当天的旧知。殊不知课上的“懂”是师生共同参与努力的结果，要想自己“会”，必须有一个“内化”的过程，而这个过程必须从课内延伸到课外。切记从“懂”到“会”必须有一个自身“领悟”的过程，这是谁也无法取缔的过程。 2．解决问题过程中的四种不良心态 缺乏对已学习过的典型题目及典型方法的积累：部分同学做了大量的习题，但收效甚微，效果不佳。究其原因，是迫于压力为完成任务而被动做题，缺乏必要的总结和积累。在积累的基础上增强“题性”、“题感”，逐步形成“模块”，不断吸取其中的智育营养，方可感悟出隐藏于模式中的数学思想方法。这就是从量的积累到质的变化的过程，只有靠“积累—消化—吸收”才能“升华”。 在解决新问题时，缺乏探索精神：“学数学不做题目，等于入宝山而空返”（华罗庚语）。我们面对的社会，新的问题不断出现，无处不在，信息时代尤为如此。学习数学，需要在解决问题的实践中不断探索。怕困难、过份依赖老师，久而久之便会形成不积极钻研的习惯。我们在课堂教学中采用“先思后讲，先做后评”的方法，正是为激发学习者的积极主动的探索热情。希望同学们增强自信、勇于猜想、主动配合教师，使数学课堂教学成为学习者的思维活动的交流过程。 忽视解题过程的规范化，只追求答案：数学解题的过程是一个化归与转化的过程，当然离不开规范严谨的推理与判断。解题中跳跃太大、乱写字母、徒手作图，如此态度对待稍难的问题，是难以产生正确答案的。我们说解题过程的规范不只是规范书写，更主要是规范“思考方法”，同学们应该学会不断调控自己的思维过程，力争使解题尽善尽美。 不注重算理，忽视对运算途径的选择与实施：数学运算是按规则进行的，通用的规则和通行的方法当然要牢固掌握。但静止的相对性和运动的绝对性又决定了数学解题中的通法不可能一成不变。因此，在运用通性、通法、通则解决问题时，不能忽视算理，更应注重对合理简捷运算途径的猜想、推断与选择，那种不假思索、顺水推舟的做题方法必须改进。用“看”题或“想”题代替“做”题的学习方法，是引起运算能力差、导致运算繁冗的根本原因。 3．复习巩固中的三种错误认识 认为多做题可以代替复习理解：学好数学，做大量的配套练习是必要的。但只练不想、不思、不总结，未必有好结果。只会埋头做题，不会抬头思考的同学，虽然做了大量的题目，以往所学的知识也难以保持随机提取的状态，只有靠滚动式的总结，才能使知识永远“保态”，并且实现阶段性知识层次的飞跃。我们平时复习中的练习，阶段性的测试与月考，正是为了引导同学们多层次、全方位、多角度的复习理解，使知识连点成线构成网络。因此，善思考、勤总结是复习过程中必须的，也是知识和方法不断积累的有效途径。 不注意知识间的联系和知识的系统性：高考数学科命题常在知识的交汇处考查学生综合应用知识的能力。如果我们仅靠单一的知识掌握，缺乏对知识间的联系与知识系统性的充分认识，必然会导致认识肤浅，综合能力差，当然很难取得良好的成绩。我们平时教学中的“前后兼顾”和“解题规律的总结”等均是为了强化知识间的联系，望引起同学们足够的重视。 不善于纠正已犯过的错误：纠正错误的过程就是学习进步的过程，人类社会也是在与错误作斗争的过程中发展的。因此，善于纠错，及时总结经验教训也是学习的重要环节。部分同学对老师批改的作业常停留在“√”和“×”上，甚至熟视无睹；对试卷只问得分的多少，而不关心或很少关心为什么“错”。须知：回忆，不管是甜、是苦，总是有益的、美好的，总能鼓励自己更有信心地面向未来！改正错误的过程就是学习进步的过程。 总之，课前预习做好心理准备；课上脑、耳、手、口协调作战，提高45分钟的吸取效益；课后复习总结，充分思考与内化。相信通过同学们积极主动的学习，一定会成为数学的主人。 如何学好数学1 数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考： 一、课内重视听讲，课后及时复习。 新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 三、调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。 在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。 由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。 如何学好数学2 高中生要学好数学，须解决好两个问题：第一是认识问题；第二是方法问题。 有的同学觉得学好教学是为了应付升学考试，因为数学分所占比重大；有的同学觉得学好数学是为将来进一步学习相关专业打好基础，这些认识都有道理，但不够全面。实际上学习教学更重要的目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养，果能如此，将终生受益。曾有一位领导告诉我，他的文科专业出身的秘书为他草拟的工作报告，因为华而不实又缺乏逻辑性，不能令他满意，因此只得自己执笔起草。可见，即使将来从事文秘工作，也得要有较强的科学思维能力，而学习数学就是最好的思维体操。有些高一的同学觉得自己刚刚初中毕业，离下次毕业还有3年，可以先松一口气，待到高二、高三时再努力也不迟，甚至还以小学、初中就是这样“先松后紧”地混过来作为“成功”的经验。殊不知，第一，现在高中数学的教学安排是用两年的时间学完三年的课程，高三全年搞总复习，教学进度排得很紧；第二，高中数学最重要、也是最难的内容（如函数、立几）放在高一年级学，这些内容一旦没学好，整个高中数学就很难再学好，因此一开始就得抓紧，那怕在潜意识里稍有松懈的念头，都会削弱学习的毅力，影响学习效果。 至于学习方法的讲究，每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法，我这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。 l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学最大的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，而y=f(x）与x=f-1(y)却有相同的图象；又如，为什么当f（x－l）＝f（1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而 y＝f（x－l）与 y＝f（1-x)的图象却关于直线 x＝1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。 2‘学习立体几何要有较好的空间想象能力，而培养空间想象能力的办法有二：一是勤画图；二是自制模型协助想象，如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看，多想。但最终要达到不依赖模型也能想象的境界。 3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图，正确的办法是边画图边计算，要能在画图中寻求计算途径。 4、在个人钻研的基础上，邀几个程度相当的同学一起讨论，这也是一种好的学习方法，这样做常可以把问题解决得更加透彻，对大家都有益。 答一送一： 如何在学习上占第一 学习上占第一，每个同学都可以做到。之所以你占不了第一，主要有两个原因：第一、生活方式、学习方法不正确，第二、没有坚强的毅力。在这里面毅力是第一重要的，学习方法是第二重要的。在现实生活中，全中国仍有70％以上的占第一的学生虽然占了第一，但他们并不是毅力最强的，或者说学习方法生活方式不是最好的。他们也许今天是第一，明天就不是了。也就是说，你如果按占第一的方法去学习、去锻炼，一般都会超过现有的第一。 辉煌的第一是不是要经过艰苦的努力才能得到呢？说它艰苦是因为“培养坚强的毅力”是世上最艰苦的工作，只有你具有了坚强的毅力才可能成为第一，当然正确的生活方式和学习方法也是特别重要的。在这里什么是坚强的毅力呢，只要你能按下面几点要求去做，而且每天都做记录，持之以恒，每天都不间断地坚持一个学期、一年、三年，那么你的毅力就足以达到占第一的要求了。在这项锻炼中就怕你中间有间断，风雨、心情、疾病、家务等等都不是你中断锻炼的理由。你要记住，学好学业是你学生生活中最重要的，没有什么工作的重要性会超过它。除了坚强的毅力，正确的学习方法和生活方式也是很重要的。 第一人人可以占，原来占第一的同学也不一定就比你更聪明多少，脑细胞也不一定比你多。爱迪生不是说过“天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感”吗？！所以你第一要过心理关，就是说：要坚信你一定能成功，一定会超过现有的第一，包括现在是第一的你自已。 第二、你要天天锻炼。没有一个健康的身体，你什么事也做不好，即使偶尔做好了，也不能长久。每天30分钟左右的锻炼一定要天天坚持。锻炼的形式多种多样，跑步、打乒乓球、打篮球、俯卧撑、立定跳远等等都可以。有些同学好面子，见到别人不跑步，怕自已跑别人看见了不好意思，那就错了，真正不好意思的是辛苦了几年考不上大学，是上了几年大学还要下岗。如果将来自已养活不了自已，那才是真正不好意思的。 第三、学习态度要端正。每次上课前，一定要把老师准备讲的内容预习好，把不好理解的、不会的内容做好标记，在老师讲到该处时认真听讲。如果老师讲了以后还不会，一定要再问老师，直到明白为止。当一个问题问了两遍三遍还不会时，一般的同学就不好意思问了，千万别这样，老师们最喜欢“不问明白誓不罢休”的性格了。上课时要认真听讲，认真思考，做好笔记。做笔记时一定要清楚，因为笔记的价值比课本还，将来的复习主要靠它。 课下首先要做的不是做作业，而是把笔记、课本上的知识点先学好，该记的内容一定把它背熟。这样会大大提高你做作业的速度，即平常说的“磨刀不误砍柴功”。做作业时应该独立思考，实在不能解决的问题，再和同学、老师商量。问同学时，不要问这道题结果是什么，而是要问“这道题究竟怎么做？”“这道题为什么这样做？” 第四、正确面对错误和失败。当有的知识你没有在课上学会、当你的练习做错时或者在考试中成绩太差时，你既不要报怨，也不要气馁，你应该正视这自已不愿得到的现实。没有学会不要紧，把该知识写到你的《备忘录》中，然后问同学问老师，再把正确的解释或结果，写到其它页上。错了题也是这样，考试失利不就是错的题多点吗，正确的方法是把原题抄到《备忘录》中，把正确的做法学会后，把做法和结果写到其它页上，如果能注上做该类题的注意事项，就会把你的学习效率又提高30％－60％。之所以把答案或解释写到其它页上，就是为了下次看知识点或错误的题目时，再动动脑筋，想想该知识点的理解和解释情况，再练练该题的做法和答案。错误和失败并不可怕，只要你能正视它，一切都会成为你成功的动力。 第五、记帐。你的学习一定要有一本帐，你什么时候做得好，记下来，什么时候错了题，记下来(注：帐本上只记“今天错题为《备忘录》××页×题
人教版小学二年级下册对称图第三单元的内容。 例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对，称图形.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。 要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。 扩展资料1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3、线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 4、对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。 参考资料来源：百度百科-轴对称图形
圆的认识(一) 1.圆中心的一点叫圆心,用O表示.一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示. 2.圆有无数条半径,有无数条直径. 3.圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 圆的认识(二) 4.把圆对折,再对折就能找到圆心. 5.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴. 6.在同一个圆里,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d＝2r或r＝d/2. 圆的周长和半圆的周长： 7.圆一周的长度就是圆的周长.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。 8.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14. 9.C＝πd或C＝πr. 10.1π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26 10π＝31.4 圆的面积 11.用S表示圆的面积, r表示圆的半径,那么S＝πr^2 S环＝π(R^2-r^2) 12.11^2＝121 12^2＝144 13^2＝169 14^2＝196 15^2＝225 16^2＝256 17^2＝289 18^2＝324 19^2＝361 20^2＝400 13.周长相等时,圆的面积最大.面积相等时,圆的周长最小. 百分数的应用 百分数的应用(四) 14.利息＝本金乘利率乘时间 比的认识 15.两个数相除,又叫做这两个数的比.比的后项不能为0.16.比的前项和后项同时乘上或除以一个相同的数(0除外).比值不变,这叫做比的基本性质. 六年级全册数学知识点(整个小学阶段和中学都通用，比较重要) 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。 基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间 关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式） 追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 【和差问题公式】 （和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】 和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或 和-一倍数=另一数。 【差倍问题公式】 差÷（倍数-1）=较小数； 较小数×倍数=较大数， 或 较小数+差=较大数。 【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答： （速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差； （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 【列车过桥问题公式】 （桥长+列车长）÷速度=过桥时间； （桥长+列车长）÷过桥时间=速度； 速度×过桥时间=桥、车长度之和。 【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； （顺水速度+逆水速度）÷2=船速； （顺水速度-逆水速度）÷2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。 仅供参考: 【工程问题公式】 （1）一般公式： 工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时。 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。 （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。） 【盈亏问题公式】 （1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2 =8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略） （2）两次都有余（盈），可用公式： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解（680-200）÷（50-45）=480÷5 =96（人） 45×96+680=5000（发） 或50×96+200=5000（发）（答略） （3）两次都不够（亏），可用公式： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？” 解（90-8）÷（10-8）=82÷2 =41（人） 10×41-90=320（本）（答略） （4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式： 亏÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略） （5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式： 盈÷（两次每人分配数的差）=人数。 （例略） 【鸡兔问题公式】 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？” 解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔； 36-14=22（只）……………………………鸡。 解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡； 36-22=14（只）…………………………兔。 （答 略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？” 解一 （4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个） 解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15） ＝1000-18525÷19 =1000-975=25（个）（答略） （“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。） （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。 例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？” 解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2 =20÷2=10（只）……………………………鸡 〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2 =12÷2=6（只）…………………………兔（答略） ***【植树问题公式】 （1）不封闭线路的植树问题： 间隔数+1=棵数；（两端植树） 路长÷间隔长+1=棵数。 或 间隔数-1=棵数；（两端不植） 路长÷间隔长-1=棵数； 路长÷间隔数=每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=路长。 （2）封闭线路的植树问题： 路长÷间隔数=棵数； 路长÷间隔数=路长÷棵数 =每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。 （3）平面植树问题： 占地总面积÷每棵占地面积=棵数 【求分率、百分率问题的公式】 比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率； 增长数÷标准数=增长率； 减少数÷标准数=减少率。 或者是 两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）； 两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。 【增减分（百分）率互求公式】 增长率÷（1+增长率）=减少率； 减少率÷（1-减少率）=增长率。 比甲丘面积少几分之几？” 解 这是根据增长率求减少率的应用题。按公式，可解答为 百分之几？” 解 这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为 【求比较数应用题公式】 标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数； 标准数×增长率=增长数； 标准数×减少率=减少数； 标准数×（两分率之和）=两个数之和； 标准数×（两分率之差）=两个数之差。 【求标准数应用题公式】 比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数； 增长数÷增长率=标准数； 减少数÷减少率=标准数； 两数和÷两率和=标准数； 两数差÷两率差=标准数； 【方阵问题公式】 （1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。 （2）空心方阵： （最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。 或者是 （最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。 例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解一 先看作实心方阵，则总人数有 10×10=100（人） 再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是 10-2×3=4（人） 所以，空心部分方阵人数有 4×4=16（人） 故这个空心方阵的人数是 100-16=84（人） 解二 直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得 （10-3）×3×4=84 原价等于现价除以打几折 打几折等于原价除以现价 现价等于原价乘以打几折

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